向量的共线冲要条件
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 11:08:11
向量的共线冲要条件
向量的共线冲要条件
向量的共线冲要条件
向量指的一般是自由向量,所以向量共线等价于向量平行.
设向量a≠0,那么向题b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数k,使得b=ka.
证明:条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性
若a与b同向,则b°=a°,b°,a°是a,b方向的单位向量
b=|b|b°=|b|a°=|b|*(|a|^(-1)*a)=(|b||a|^(-1))a
取k=(|b||a|^(-1)),即得b=ka
若a与b反向,证明类似.
下面再证明k的唯一性
假如b=ka=ma,则(k-m)a=0,因为a≠0,所以k-m=0,k=m.
向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=...
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向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0，这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.
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向量的共线问题是初学向量者的一误区
向量的共线就是向量平行。因为向量可以随意平移。
首先我们要知道，零向量是方向任意的向量，它和任一个向量都是平行的。
对于自由向量(也称滑矢，滑移矢量，平移等价向量，即可以随意平移而视为同一的向量，由方向和大小唯一决定的向量)，共线与平行不作区分。此时：
(*)设(自由)b平行于a的充分必要条件是：a=0或存在唯一的实数k，使得b=ka.(*) (注意允许k=0，即b为0矢量)这就是说明二者方向相同.
在应用中也会碰到二者不能混为一谈的情况。此时向量的共线是向量平行的特例。此时向量除了方向和大小外...
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对于自由向量(也称滑矢，滑移矢量，平移等价向量，即可以随意平移而视为同一的向量，由方向和大小唯一决定的向量)，共线与平行不作区分。此时：
(*)设(自由)b平行于a的充分必要条件是：a=0或存在唯一的实数k，使得b=ka.(*) (注意允许k=0，即b为0矢量)这就是说明二者方向相同.
在应用中也会碰到二者不能混为一谈的情况。此时向量的共线是向量平行的特例。此时向量除了方向和大小外，还得规定作用点或作用线，在物理学应用中常有这样的例子。
那么此时的共线(即作用线同一)等价于以下(1)或(2)：
(1)向量A上的两点和B上的两点四点共线
(2)除了以上(*式)对方向相同的约束以外，还得确定向量上一点在另一向量的作用线上，例如：向量a上两点与b上一点三者共线。
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