长方体ABCD-A1B1C1D1,E是BC中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证,MN平行ADD1A1要求用向量建立坐标做我总是算不出ADD1A1的法向量
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 15:16:35
长方体ABCD-A1B1C1D1,E是BC中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证,MN平行ADD1A1要求用向量建立坐标做我总是算不出ADD1A1的法向量
长方体ABCD-A1B1C1D1,E是BC中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证,MN平行ADD1A1
要求用向量建立坐标做
我总是算不出ADD1A1的法向量
长方体ABCD-A1B1C1D1,E是BC中点,M,N分别是AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证,MN平行ADD1A1要求用向量建立坐标做我总是算不出ADD1A1的法向量
以点A为原点,以AB所在的方向为x轴,AD的方向为y轴,AA1的方向为z轴建立直角坐标系.
ADD1A1的法向量可以选择向量AB,就是n=（1,0,0）,M(a,a/4,0）,N(a,a,a/2)
所以向量MN为（0,3a/4,a/2)
那个法向量与MN的乘积为0,所以垂直,所以MN平行于ADD1A1.
（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK
∵M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点
∵MK∥AD，NK∥DD1
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
∴面MNK∥面ADD1A1
∴MN∥面ADD1A1
（Ⅱ）设F为AD的中点
∵P为A1D1的中点∴PF∥DD1
∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，连接PH...
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（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK
∵M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点
∵MK∥AD，NK∥DD1
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
∴面MNK∥面ADD1A1
∴MN∥面ADD1A1
（Ⅱ）设F为AD的中点
∵P为A1D1的中点∴PF∥DD1
∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH
从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中， AF=a2，EF=2a，AE=172a，从而 FH=AF•EFAE=a2•2a172a=2a17
在Rt△PFH中， tan∠PFH=PFFH=DD1FH=172
故：二面角P-AE-D的大小为 arctan172
收起
嘻嘻嘻
好几年了，怎么用向量做忘了，但是要用几何证明还是很容易的。取CD中点F，由于MN都是中点，MF//AD,NF//DD1,所以，平面MNF//ADD1A1，所以MN//ADD1A1