一道高中数学数列证明题已知Sn是等比数列﹛an﹜的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2.a8,a5成等差数列
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/23 02:16:25
一道高中数学数列证明题已知Sn是等比数列﹛an﹜的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2.a8,a5成等差数列
一道高中数学数列证明题
已知Sn是等比数列﹛an﹜的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2.a8,a5成等差数列
一道高中数学数列证明题已知Sn是等比数列﹛an﹜的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,求证a2.a8,a5成等差数列
证明;
可设通项an=a1×q^(n-1).n=1,2,3,
[[[1]]]
当q=1时,易知an=a1,Sn=na1,n=1,2,3.
由题设2S9=S3+S6
即18a1=3a1+6a1
a1=0.矛盾.
∴q≠1
[[[2]]]
当q≠1时.易知Sn=[a1/(q-1)]×[-1+q^n].n=1,2,3,...
由题设2S9=S3+S6可得
2[-1+q^9]=(-1+q^3)+(-1+q^6)
∴2q^6=1+q^3
∴2q^7=q+q^4
∴2a1q^7=(a1q)+[a1q^4]
即2a8=a2+a5
∴a2.a8.a5成等差数列
设公比为q
因S3,S9,S6成等差数列
所以2S9=S3+S6
即2[a1*(q^9-1)/(q-1)]=[a1*(q^3-1)/(q-1)]+[a1*(q^6-1)/(q-1)]
2(q^9-1)=(q^3-1)+(q^6-1)
2q^9=q^3+q^6
2q^6-q^3-1=0
(2q^3+1)(q^3-1)=0
解得q^3=-...
全部展开
设公比为q
因S3,S9,S6成等差数列
所以2S9=S3+S6
即2[a1*(q^9-1)/(q-1)]=[a1*(q^3-1)/(q-1)]+[a1*(q^6-1)/(q-1)]
2(q^9-1)=(q^3-1)+(q^6-1)
2q^9=q^3+q^6
2q^6-q^3-1=0
(2q^3+1)(q^3-1)=0
解得q^3=-1/2或q^3=1(舍去)
则a2+a5=a1*q+a1*q^4=a1*q*(1+q^3)=(1/2)a1*q
2a8=2a1*q^7=2a1*q*q^6=2a1*q*(-1/2)²=(1/2)a1*q
所以a+a5=2a8
故a2.a8,a5成等差数列
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