一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间(-1,1)上为 递减 函数.求证!我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 08:13:31
一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln1-x/1+x在区间(-1,1)上为递减函数.求证!我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln1-x/1+x在

一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间(-1,1)上为 递减 函数.求证!我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,
一道数学函数单调性问题
函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间(-1,1)上为 递减 函数.求证!
我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,

一道数学函数单调性问题函数f(x)=ln 1-x/1+x 在区间(-1,1)上为 递减 函数.求证!我证了是递增的,求导了再让导数大于0怎么都是增的啊,
主要用公式(lnx)'=1/x和lna/b=lna-lnb
f(x)=ln 1-x/1+x =ln(1-x) - ln(1+x)
f'(x)=(ln(1-x) - ln(1+x))’=-1/(1-x)-1/(1+x)=-2/(1-x^2)
因为x在区间(-1,1)上,那么1-x^2>0
所以f'(x)

取-1f(x1)-f(x2)=ln1-x1/1+x1-ln1-x2/ln1+x2
=ln(1-x1)-ln(1+x1)-ln(1-x2)+ln(1+x2)
=ln(1-x1)(1+x2)/(1+x1)(1-x2)
=ln(1+x2-x1-x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)
因为(1+x2-x1-x1x2)/(1+x1-x2-x1x2)》1,所以f(x1)-f(x2)》0
所以f(x)在区间上为递减函数

由于是复合函数要是1-x/1+x是单增的话,f(x)=ln 1-x/1+x 也是单增(在定义域中),设G(x)=1-x/1+x,对他求导后得-2/(1+x)^2而这恒小于0,因此内层函数是单减得,由于外层函数单增,所以f(x)在(-1,1)单减。
水平有限,说得不好的地方别介意。

1-x/1+x=(2-(1+x))/(1+x)=2/(1+x) -1
这个函数在(-1,1)上为 递减 函数
f(x)=lnx为增函数
合起来就为减函数啦

首先求导,f'(x)=(1/(1-x)*(-1)*(x+1)-ln(1-x))/((1+x)^2),分子上为:(x+1)/(x-1)-ln(1-x)=1+2/(x-1)-ln(1-x),而对分子再求导,得到:-2/((x-1)^2)-1/(1-x)*(-1)=-2/((x-1)^2)+1/(x-1),当x属于(-1,1)时,该分子的倒数小于0,所以1+2/(x-1)-ln(1-x)在(-1,1)上...

全部展开

首先求导,f'(x)=(1/(1-x)*(-1)*(x+1)-ln(1-x))/((1+x)^2),分子上为:(x+1)/(x-1)-ln(1-x)=1+2/(x-1)-ln(1-x),而对分子再求导,得到:-2/((x-1)^2)-1/(1-x)*(-1)=-2/((x-1)^2)+1/(x-1),当x属于(-1,1)时,该分子的倒数小于0,所以1+2/(x-1)-ln(1-x)在(-1,1)上单调递减,继而得到1+2/(x-1)-ln(1-x)在(-1,1)上的最大值为x=-1时取得,即为1+2/(-2)-ln(1-(-1))=-ln2<0,所以f'(x)的分子在(-1,1)上恒小于0,而分母为(1+x)^2恒大于0,所以f'(x)在(-1,1)上恒小于0,即得f(x)=ln(1-x)/1+x 在区间(-1,1)上为 递减 函数。证毕
我估计楼主在求ln(1-x)的时候出现问题,应该在1/(1-x)后还要对(1-x)关于x求导,所以还有个-1,估计你是错在这里。

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