已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8问:已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1.求证:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/22 19:48:48
已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8问:已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1.求证:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O
已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8
问:已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1.
求证:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8问:已知圆O:x^2+y^2=1,直线l:mx+ny=1.求证:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O
(1)由x+ky-3=0得,(x-3)+ky=0,
所以直线过定点(3,0),即F为(3,0).
设椭圆C的方程为 x2a2+ y2b2=1(a>b>0),
则 {c=3a+c=8a2=b2+c2解得 {a=5b=4c=3
故所求椭圆C的方程为 x225+ y216=1.
(2)因为点P(m,n)在椭圆C上运动,所以 m225+ n216=1.
从而圆心O到直线l的距离
d= 1m2+n2= 1m2+16(1-125m2)= 1925m2+16<1.
所以直线l与圆O恒相交.
又直线l被圆O截得的弦长
L=2 r2-d2=2 1-1m2+n2=2 1-1925m2+16,由于0≤m2≤25,
所以16≤ 925m2+16≤25,则L∈[ 152,465],
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[ 152,465].
分数中间的线没有显示上 自己理解呵呵