对数的发明原理,及是什么情况下根据什么数学问题发明的,那个问题具体一点,以及是根据对数怎样解决的.

对数的发明原理,及是什么情况下根据什么数学问题发明的,那个问题具体一点,以及是根据对数怎样解决的.
对数的发明原理,及是什么情况下根据什么数学问题发明的,那个问题具体一点,以及是根据对数怎样解决的.

对数的发明原理,及是什么情况下根据什么数学问题发明的,那个问题具体一点,以及是根据对数怎样解决的.

苏格兰数学家纳皮尔,在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.

16世纪前半叶,欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易,需要更为准确的天文知识,而天文学的研究中,需要大量烦琐的计算,特别是三角函数的连乘,天文学家们苦不堪言.

德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式,即

sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,

cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .

大大简化了三角函数连乘的计算.比如,计算sin67°34'×sin9°3',可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418,sin9°3'=0.15729632.但随后的乘法的计算十分烦琐,且容易出错.（请你不用计算器,手算一下0.92432418×0.15729632=?,记住还要验算一遍,以保证计算正确哦!）用维尔纳的三角函数积化和差公式,计算就大大简便了：

sin67°34'×sin9°3'

＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')

＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2

＝[0.52225052-0.23146492]/2

＝0.14539280

这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算,方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sinβ=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β),再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数.由于大于1的数可用小于1的数乘上10n 表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的.

但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方,因此,寻找更好的计算迫在眉睫.

2、对数产生的前奏

请你观察下面两个数列,并找出规律:

1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096,8192,16384⋯⋯

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,  7,  8,  9,  10,  11,   12,  13,   14⋯⋯

德国数学家Stifel (1487～1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为 “原数”, 下排的数为“代表数” (德文Exponent) , Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系.Stifel指出：“欲求上边任两数的积（商）,只要先求出其下边代表数的和（差）,然后再把这个和（差）对向上边的一个原数,则此原数即为所求之积（商）.”比如,计算16×1024,只要计算16的“代表数” 4、1024的“代表数” 10之和4+10=14,再查出与“代表数” 14相对应的“原数” 16384,就得到16×1024的乘积.实际上, Stifel已经掌握了对数运算法则,因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”以2为底的对数.

说明：上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为：

20,

21,

22,

23,

24,

25,

26,

27,

28,

29,

210,

211,

212,

213

214

⋯⋯

0,

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,

9,

10,

11,

12,

13

14

⋯⋯

则16×128实际上就是24×27＝24+7＝211＝2048.

此法可推广到任何二个数的乘除运算.比如计算17951235×0.08304115,设17951235＝aX, 0.08304115＝aY,则17951235×0.08304115＝aX ×aY＝aX+Y.

这里x是17951235的(以a为底的)对数,y是0.08304115的(以a为底的)对数.底a是可以任意指定的,我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数) x=lg 17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451,计算x+y=6.1733876872,再查表得6.1733876872的(以10为底的)指数函数,106.1733876872＝1490691.1983就得到了17951235的乘积.

这就是后来的“对数简化运算”的方法.但由于当时没有分数指数的概念,人们还完全想不到这样的原理.Stifel尝试做任何两个数乘除时,遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”.

3、对数的发明

对数的概念,首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔,1550～1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性,天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.Napier也是一位天文爱好者,他感到,“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经20年潜心研究大数的计算技术,他终于独立发明了对数,并于1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"）,中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数(NaplogX).这让他在数学史上被重重地记上一笔.1616年Briggs(亨利·布里格斯,1561–1630)去拜访Napier,建议将对数改良一下以10为基底的对数表最为方便,这也就是后来常用的对数了.可惜Napier隔年于1617年春天去世,后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业,他于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》,于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法,1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.

对数表这一惊人发明很快传遍了欧洲大陆.开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算.伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数,我可以创造出一个宇宙来.”数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”.对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用.今天,随着计算机的迅猛发展,对数表、计算尺就像过时的法律一样被废弃了,但对数与指数本身已成为数学的精髓部分,也是每一个中学生必学的内容.