当0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 04:26:08
当0当0x+(x^3)/3当0你学过导数了吧令F(x)=tanx-x-x^3/3则F''(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2明显tanx>x,x∈(0,π/2)所以F(x)>0,F
当0
当0
当0
你学过导数了吧
令F(x)=tanx-x-x^3/3
则F'(x)=1+tan^2x-1-x^2=tan^2x-x^2
明显tanx>x,x∈(0,π/2)
所以F(x)>0,F(x)在(0,π/2)内单调递增
又F(0)=0,F(x)恒>0
所以tanx>x+x^3/3,得证
证明：
构造函数f(x)=tanx-x-(x^3)/3
则 f(0)=0
f'(x)=sec²x-1-x²=tan²x-x²=(tanx-x)(tanx+x)
∵ 0
∴ tanx-x>0,tanx+x>0
∴ f'(x)>0
即 f(x)在0
即 tanx-x-(x^3)/3>0
即 tan x>x+(x^3)/3