三角形ABC中,AB=15,AC=8,AD为三角形ABC中线,AD=8.5,求证三角形ABC为直角三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:22:36
三角形ABC中,AB=15,AC=8,AD为三角形ABC中线,AD=8.5,求证三角形ABC为直角三角形
三角形ABC中,AB=15,AC=8,AD为三角形ABC中线,AD=8.5,求证三角形ABC为直角三角形
三角形ABC中,AB=15,AC=8,AD为三角形ABC中线,AD=8.5,求证三角形ABC为直角三角形
证明：
延长AD到E,使DE＝AD,连接BE、CE
因为AD＝8.5
所以AE＝17
因为BD＝CD＝AD＝DE,
所以AE、BC互相平分
所以四边形ABEC是平行四边形
所以BE＝AC＝8,BE‖AC
因为AB＝15
而8^2+15^2=17^2
所以AB^2+BE^2=AE^2
所以三角形ABE是直角三角形且∠ABE＝90度
因为∠BAC＋∠ABE＝180度
所以∠BAC＝90度
所以三角形ABC是直角三角形
供参考!JSWYC
过D点做平行与AC的平行线交AB与F，因为D为中点（中线），则DF=1/2AC=4，AF=1/2AB=7.5
所以AF的平方加DF的平方等于AD的平方
所以角AFD为直角，
因为AC平行于DF 所以角BAC为直角
所以三角形ABC为直角三角形
延长AD至E
使得DE=AD
连接BE，容易证明△BDE≌△CAD(∠ADC=∠BDE,BD=CD,AD=DE)
∴BE=AC
∠ACD=∠DBE
简单地，在△ABE中，AB²+AC²=AB²+BE²=15²+8²=289=（2×8.5）²=AE²
∴△ABE为直角三角形...
全部展开
延长AD至E
使得DE=AD
连接BE，容易证明△BDE≌△CAD(∠ADC=∠BDE,BD=CD,AD=DE)
∴BE=AC
∠ACD=∠DBE
简单地，在△ABE中，AB²+AC²=AB²+BE²=15²+8²=289=（2×8.5）²=AE²
∴△ABE为直角三角形
所以∠ABE=90°=∠ABC+∠DBE=∠ABC+∠ACD
∵∠ABC+∠ACD+∠BAC=180°
∴∠BAC=90°
收起
做AM垂直BC于M,设BD=CD=X,DM=Y,
则15^2-[X+Y]^2=8^2-[X-Y]^2，得4XY=161,得Y=161\4X 1
8.5^2-Y^2=8^2-[X-Y]^2,得16.5=X*[2Y-X] 2
将1代入2得X=8.5.所以BC=2AD=17
所以AB^2+AC^2=15^2+8^2=289=17^2=BC^2
所以角BAC=90度。所以三角形为直角三角形