已知a^2+b^2=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0恒成立,当ab乘积最小时,求ab
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:47:33
已知a^2+b^2=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0恒成立,当ab乘积最小时,求ab
已知a^2+b^2=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0恒成立,当ab乘积最小时,求ab
已知a^2+b^2=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0恒成立,当ab乘积最小时,求ab
抱歉,我没有做完,最后一步不会了,不过希望上面的过程能给你有所帮助
我用的是书写,最后截图,所以过程都在图上,你点图就可以看到
整理不等式a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0……(1)
并将a^2+b^2=1代入，得(1+a+b)x^2-(2a+1)x+a≥0……(2).
在(2)中，令x=0，得a≥0；令x=1，得b≥0.
易知1+a+b＞0，0＜(2a+1)/[2(1+a+b)]＜1.
故二次函数y=(1+a+b)x2-(2a+1)x+a的图象(抛物线)的开口...
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整理不等式a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0……(1)
并将a^2+b^2=1代入，得(1+a+b)x^2-(2a+1)x+a≥0……(2).
在(2)中，令x=0，得a≥0；令x=1，得b≥0.
易知1+a+b＞0，0＜(2a+1)/[2(1+a+b)]＜1.
故二次函数y=(1+a+b)x2-(2a+1)x+a的图象(抛物线)的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.
由题设知，不等式(2)对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，
所以它的判别式△=(2a+1)^2-4a(1+a+b)≤0，即ab≥1/4.由方程组a^2+b^2=1;ab=1/4 消去b，得16a^4-16a^2+1=0，
所以a^2=(2-√3)/4或a^2=(2+√3)/4.又因为a≥0，
所以a1=(√6-√2)/4或a2=(√6+√2)/4，
于是b1=(√6+√2)/4或b2=(√6-√2)/4.
所以ab的最小值为1/4，此时a，b的值分别为a=(√6-√2)/4，b=(√6+√2)/4和a=(√6+√2)/4,b=(√6-√2)/4.
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