求积分,第二题和第三题,学到分部积分时老师留的作业,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 03:53:52
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原式=－∫lnsinxdcotx=－（lnsinx cotx－∫cot^2 xdx）=－lnsinx cotx＋∫1－sin^2 x/sin^2 x dx=-lnsinx cot x -cotx -x +c
令x＝sinu,则：u＝arcsinx,dx＝cosudu. ∴∫｛1/［2x＋√（1－x^2）］｝dx＝∫［1/（2sinu＋cosu）］cosudu. 引入辅助角t,使cost＝2/√5、sint＝1/√5.则：t＝arcsin（1/√5）. ∴∫｛1/［2x＋√（1－x^2）］｝dx ＝∫［1/（2sinu＋cosu）］cosudu ＝（1/√5）∫［1/（sinucost＋cosusint）］cos（u＋t－t）d（u＋t） ＝（1/√5）∫｛［cos（u＋t）cost＋sin（u＋t）sint］/sin（u＋t）｝d（u＋t） ＝（1/√5）cost∫［cos（u＋t）/sin（u＋t）］d（u＋t）＋（1/√5）sint∫d（u＋t） ＝（1/√5）×（2/√5）∫［1/sin（u＋t）］d［sin（u＋t）］＋（1/√5）×（1/√5）（u＋t） ＝（2/5）ln｜sin（u＋t）｜＋（1/5）［arcsinx＋arcsin（1/√5）］＋C ＝（2/5）ln｜sinucost＋cosusint｜＋（1/5）arcsinx＋C ＝（2/5）ln｜（2/√5）x＋（1/√5）√（1－x^2）｜＋（1/5）arcsinx＋C ＝（2/5）ln｜2x＋√（1－x^2）｜－ln√5＋（1/5）arcsinx＋C ＝（2/5）ln｜2x＋√（1－x^2）｜＋（1/5）arcsinx＋C