求证:关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 10:06:16
求证:关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
求证:关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
求证:关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
求证:关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且b的绝对值≤4
证明:充分性
若a≥2且|b|≤4
4a^2>=16,-16=0==>4a^2>=4b==>a^2>=b
显然当若x>=2时,b=2也不一定成立
综上:∴a≥2且|b|≤4是方程x2+2ax+b=0有实数根成立的充分不必要条件.
①若a≥2且b的绝对值≤4,
a²≥4≥|b|.
则△=4a²-4b=4(a²-b)≥0,方程一定有实根,
且其两根为(-2a±√[4(a²-b)])/2=-a±√(a²-b),
-a-√(a²-b)<0<2,
-a+√(a²-b)≤-a+√(a²+4)< -a+√(a²...
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①若a≥2且b的绝对值≤4,
a²≥4≥|b|.
则△=4a²-4b=4(a²-b)≥0,方程一定有实根,
且其两根为(-2a±√[4(a²-b)])/2=-a±√(a²-b),
-a-√(a²-b)<0<2,
-a+√(a²-b)≤-a+√(a²+4)< -a+√(a²+4a+4)=-a+(a+2)=2,
所以此时方程有实数根,且两根均小于2。
②方程x²+5x-6=0有实数根,且两根为1,-6,都小于2,
但此时|b|=6>4.
综合①②知:关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且|b|≤4。
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