求证：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1如题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 06:09:12
求证：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1如题,
求证：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1
如题,
求证：关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1如题,
我认为楼上证得都不严密,既是证明,就不能在无形中借助图像,讨论判别式、对称轴之类.
证明：（充分性）即证：若a≤1,则关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根
分情况：若a=0,那么x=-1/2显然为方程的一个根,方程至少有一个负根
若0＜a≤1,那么注意x0=[-1-√(1-a)]/a,显然x0＜0,而x0²=[2-a+2√(1-a)]/a²,于是ax0²+2x0+1=0,故x0为方程的一个根,∴方程至少有一个负根
若a＜0,注意x0=[-1+√(1-a)]/a.∵a＜0,∴1-a＞1,∴√(1-a)＞1,-1+√(1-a)＞0,∴x0＜0.又易得ax0²+2x0+1=0,故x0为方程的一个根,∴方程至少有一个负根
充分性得证
（必要性）即证：若关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根,则a≤1
设x0为方程的一个负根,那么ax0²+2x0+1=0,∴a=(-2x0-1)/x0².注意到(x0+1)²=x0²+2x0+1≥0,∴x0²≥-2x0-1,即(-2x0-1)/x0²≤1,∴a≤1
必要性得证
(1) 观察此方程无零解，当a=0时根是负值。
(2) 当a不为零时，二次方程有解的充要条件是判别式>=0，得到a<=1
两根和为-2/a,两根积为1/a。
如两根都为正，则有-2/a >0,且1/a >0，无解。
即不可能两根都为正，所以至少有一根为负。
综上所述，关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1。
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(1) 观察此方程无零解，当a=0时根是负值。
(2) 当a不为零时，二次方程有解的充要条件是判别式>=0，得到a<=1
两根和为-2/a,两根积为1/a。
如两根都为正，则有-2/a >0,且1/a >0，无解。
即不可能两根都为正，所以至少有一根为负。
综上所述，关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1。
证毕！
收起
至少一负根的充要条件(2条)：
1.有根 2.有一负根
由1分情况：
a=0,x=-1/2成立
a!=0,判别式>=0得到a<=1
由2分情况：
a>0 有两负根成立
a<0有一正根一负根成立
综上a<=1