设函数f(x) 与g(x) 的定义域为R 且x 不等正负1,f(x) 是偶函数 g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1\(x-1) 求f(x) 和g(x) 的解析式

设函数f(x) 与g(x) 的定义域为R 且x 不等正负1,f(x) 是偶函数 g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1\(x-1) 求f(x) 和g(x) 的解析式
设函数f(x) 与g(x) 的定义域为R 且x 不等正负1,f(x) 是偶函数 g(x)是奇函数,
且f(x)+g(x)=1\(x-1) 求f(x) 和g(x) 的解析式

设函数f(x) 与g(x) 的定义域为R 且x 不等正负1,f(x) 是偶函数 g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1\(x-1) 求f(x) 和g(x) 的解析式
由奇偶性
f(-x)=f(x)
g(-x)=-g(x)
令h(x)=f(x)+g(x)=1\(x-1) (1)
则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=1\(-x-1) (2)
(1)+(2)
2f(x)=1\(x-1)+1\(-x-1)=2\(x²-1)
f(x)=1\(x²-1)
g(x)=h(x)-f(x)=x\(x²-1)

f(x)+g(x)=1/(x-1)
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=1/(-x-1)=-1/(x+1)
所以
f(x)=[1/(x-1)-1/(x+1)]/2=1/(x²-1)
g(x)=[1/(x-1)+1/(x+1)]/2=x/(x²-1).

把x用-x带入，得f(-x)+g(-x)=1/-x-1
f(x)+g(x)-[f(-x)+g(-x)]=1/(x-1)-1/(-x-1)
由于f(x) 是偶函数 g(x)是奇函数
所以f(x)=-f(-x),g(x)=g(-x)，带入化简得
2f(x)=2/(x+1)(x-1)
f(x)=1/(x+1)(x-1)
之后再带入原式得
g(x)=1/x-1-f(x)=1/(x-1)-1/(x+1)(x-1)

根据函数奇偶性定义
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
带入得
f(x)=1/(x^2-1)
g(x)=x/(x^2-1)

由f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，得
f(-x)=-f(-x)
g(-x)=g(-x)
代入原入，得
-f(-x)g(-x)=1/(x-1)
再由函数性质，用x替换-x得
-f(x)＋g(x)=1/(-x-1)
与f(x)＋g(x)=1(x-1)联解得
f(x)=2x/(x^2-1)
g(x)=2/(x^2-1)