已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b] 判断函数在定义域内单调性 记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 00:44:07
已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b] 判断函数在定义域内单调性 记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b]
判断函数在定义域内单调性
记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
提
已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b] 判断函数在定义域内单调性 记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
4x＾2－4kx-1=0>>>>>(伟大定理)
>>>>> A+B=k
A*B=-1/4
设 A>>>>f'(x)=-(x＾2－kx-1)/(x^2+1)^2
因为,f'(x)=0
即,x＾2－kx-1=0
得,x1+x2=k
x1*x2=-1
设 x1
韦达定理
4x^2-4kx-1=0
化为
(2x-k)^2=k^2+1
所以F(a)=k^2+1/a^2+1
F(b)=k^2+1/b^2+1
因为对称轴x=k/2，顶点y=-k^2-1恒小于0所以方程一定有两个解。
又F'(x)=-(x＾2－kx-1)/(x^2+1)^2，所以
当x＾2－kx-1<0，假设根为A,B，所以A
全部展开
4x^2-4kx-1=0
化为
(2x-k)^2=k^2+1
所以F(a)=k^2+1/a^2+1
F(b)=k^2+1/b^2+1
因为对称轴x=k/2，顶点y=-k^2-1恒小于0所以方程一定有两个解。
又F'(x)=-(x＾2－kx-1)/(x^2+1)^2，所以
当x＾2－kx-1<0，假设根为A,B，所以A
f(x)除以4得到x^2-kx-1/4=0，而A,B满足x＾2－kx-1=0，所以f(A)>0,f(B)>0而f(x)开口向上所以A
g(x)=F(b)-F(a)=(k^2+1)(a^2-b^2)/(a^2+1)(b^2+1)
实际上(a^2-b^2)=k^2+1
(a^2+1)(b^2+1)=a^2b^2+a^2+b^2+1=1/16+k^2+1/2+1=9/16+k^2+1
另k^2+1=t，t>=1
所以g(x)=t^2/(9/16+t)
所以g(x)<=asqrt(t),sqrt（）代表根号
等价于
a>=t^3/2/(9/16+t)
当t>=1时，a>=16/25
收起
恩一