2009学年嘉定区九年级第一次质量调研 数学 第24题在平面直角坐标系中,点A坐标为（1,1）,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△MON（如图所示）,若二次函数的图象经过
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2009学年嘉定区九年级第一次质量调研 数学 第24题在平面直角坐标系中,点A坐标为（1,1）,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△MON（如图所示）,若二次函数的图象经过
2009学年嘉定区九年级第一次质量调研 数学 第24题
在平面直角坐标系中,点A坐标为（1,1）,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△MON（如图所示）,若二次函数的图象经过点A、M、O三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果把这个二次函数图象向右平移2个单位,得到新的二次函数图象与y轴的交点为C,求tan∠ACO的值；
（3）在（2）的条件下,设新的二次函数图象的对称轴与x轴的交点为D,点E在这条对称轴上,如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1）,求点E的坐标．
2009学年嘉定区九年级第一次质量调研 数学 第24题在平面直角坐标系中,点A坐标为（1,1）,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,△AOB绕点O逆时针方向旋转90°,得到△MON（如图所示）,若二次函数的图象经过
分析：（1）本题需先得出M点的坐标,再设出二次函数的解析式为y=ax²+bx+c,把A、M、O三点代入即可求出解析式．
（2）本题先得出图象向右平移2个单位的解析式,从而得出与y轴的交点坐标,再连接AN,即可求出tan∠ACO的值．
（3）本题需先分根据（2）的解析式得出对称轴为直线x=2,得出D点的坐标,再设出点E的坐标,这时再分两种情况进行讨论,当点E在x轴的上方时,得出BD/DE=OC/BO,即可求出点E的坐标,当点E在x轴的下方时,同理可得出点E的坐标．
（1）由旋转可知：点M的坐标为（-1,1）,
设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c
∵二次函数的图象经过点A、M、O三点,点A坐标为（1,1）,
∴1=a-b+c,1=a+b+c,0=c.
∴解出a=1,b=0,c=0.
∴这个二次函数的解析式为y=x²．
（2）将这个二次函数图象向右平移2个单位,
得到新的二次函数的解析式为y=（x-2）²．
∴二次函数y=（x-2）²的图象与y轴的交点为C为（0,4）,
由旋转可知：点N的坐标为（0,1）,连接AN．
在Rt△ANC中,AN=1,CN=3,
∴tan∠ACO=AN/CN=13．
（3）由（2）得：新的二次函数y=（x-2）2图象的对称轴为直线x=2．
根据题意：得点D的坐标为（2,0）,
可设点E坐标为（2,x）,∠BOC=∠BDE=90°．
如果△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似：
①当点E在x轴的上方时,
如果BD/DE=BO/OC,又BD=BO=1,容易知道△BCO与△BDE全等（舍去）,
如果BD/DE=OC/BO,又BD=1,BO=1,OC=4,DE=x,
∴1/x=4/1,
∴x=1/4．
所以点E的坐标为（2,1/4）．
②当点E在x轴的下方时,
同理：可得到E的坐标为（2,-1/4）．
所以：当△BCO与以点B、D、E所组成的三角形相似（相似比不为1）时,
点E的坐标为（2,1/4）或（2,-1/4）．