在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,BB1＝1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.①求证：平面EDB垂直平面EBC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 06:30:28
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,BB1＝1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.①求证：平面EDB垂直平面EBC
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,BB1＝1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.
①求证：平面EDB垂直平面EBC
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,BB1＝1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.①求证：平面EDB垂直平面EBC
如图,取坐标系：
D﹙0,0,0﹚, A﹙1,0,0﹚, C﹙0,1,0﹚,P﹙0,0,1﹚,
则E﹙0,1/2,1/2﹚,PB＝﹛1,1,-1﹜,PA＝﹛1,0,-1﹜
⑴ 平面EBD的法向量＝DB×DE∥n1＝﹛1,1,0﹜×﹛0,1,1﹜＝﹛1,-1,1﹜
∵PA•n1＝﹛1,0,-1﹜•﹛1,-1,1﹜＝0.∴PA⊥n1 PA∥平面EBD．
⑵ 设F﹙x,y,z﹚ 直线PB方程x＝-t,y＝-t,z＝t+1 ﹙参数式﹚
EF²＝t²+2﹙1/2+t﹚²＝3﹙t+1/3﹚²+1/6 t＝-1/3时最小,此时EF⊥PB ∴F﹙1/3,1/3,2/3﹚
平面EFD的法向量＝DE×EF∥n2＝﹛0,1,1﹜×﹛2,-1,1﹜＝﹛2,2,-2﹜
∵PB＝﹛1,1,-1﹜∥﹛2,2,-2﹜＝n2 ∴PB⊥平面EFD
以d为坐标原点建立空间直角坐标系，de=（0,1,1），db=（1,2,0）ec=（0,1,-1）bc=（-1,0,0）
设n1，n2两个向量，n1*de=0 n1*db=0 n2*ec= 0，n2*bc=0，解除n1，n2，计算n1*n2=0即可证明两平面垂直
根据已知长度易得∠DEC=90°即EC⊥DE
∵BC⊥平面CC1DD1，且DE在平面CC1DD1内
∴BC⊥DE
又∵BC∩EC=C
∴BC⊥平面EBC
又∵BC在平面EDB内
∴平面EDB⊥平面EBC