求积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:39:27
求积分
求积分
求积分
因为 x³ 是奇函数,cosx 是偶函数,x³cosx 是奇函数,
奇函数在对称与y轴积分等于0,所以,第一题 = 0.
用分部积分可以证明：
∫x³cosxdx (-π→π)
=∫x³dsinx (-π→π)
= x³sinx (-π→π) - ∫3x²sinxdx (-π→π)
= - 3∫x²sinxdx (-π→π)
= 3∫x²dcosx (-π→π)
= 3x²cosx (-π→π) - 6∫xcosxdx (-π→π)
= - 6∫xcosxdx (-π→π)
= - 6∫xdsinx (-π→π)
= - 6xsinx (-π→π) + 6∫sinxdx (-π→π)
= 6∫sinxdx (-π→π)
= -6cosx(-π→π)
= 0
第二题
因为 x⁴是偶函数,sinx 是奇函数,x⁴sinx 是奇函数,
奇函数在对称与y轴积分等于0,所以,第二题 = 0.
用分部积分可以证明：
∫x⁴sindx (-π→π)
= -∫x⁴dcosx (-π→π)
= -x⁴cosx (-π→π) + 4∫x³cosxdx (-π→π)
= 4∫x³cosxdx (-π→π)
= 4∫x³dsinx (-π→π)
= 4x³sinx (-π→π) - 12∫x²sinxdx (-π→π)
= - 12∫x²sinxdx (-π→π)
= 12∫x²dcosx (-π→π)
= 12x²cosx (-π→π) - 24∫xcosxdx (-π→π)
= - 24∫xcosxdx (-π→π)
= - 24∫xdsinx (-π→π)
= - 24xsinx (-π→π) + 24∫sinxdx (-π→π)
= -24cosx (-π→π)
= 0
第三题
设 u = √x,u² = x,dx = 2udu
x：1→4； u：1→2
原积分 =
= ∫2udu/(1+u) (1→2)
= 2∫udu/(1+u) (1→2)
= 2∫(u+1-1)du/(1+u) (1→2)
= 2∫[1-1/(1+u)]du (1→2)
= 2[u-1n|1+u|]du (1→2)
= 2[1 - ln(3/2)]
≈1.1891
第四题
令 u = √x,u² = x,dx = 2udu
x :4→9; u :2→3
原积分 = 2∫u²du/(u-1) (2→3)
= 2∫(u²-1+1)du/(u-1) (2→3)
= 2∫[(u-1)(u+1)+1]du/(u-1) (2→3)
= 2∫[(u+1)+1/(u-1)]du (2→3)
= u²+2u+2ln|u-1| (2→3)
= (9-4)+2(3-2)+2ln2-2ln1
= 5 + 2 + 2ln2
= 7 + 2ln2
≈8.3863
第五题
令 √(5-4x) = u,5-4x = u²,dx = -½udu
x :-1→1; u :3→2
原积分 = ¼∫[(5-u²)/u](-½u)du (3→2)
= -⅛∫(5-u²)du (3→2)
= -⅛(5u-⅓u³)|(3→2)
= 1/6
给你思路吧！写这里没办法写。而且题目看的不是很清楚，积分范围看不清。
1、2：分部积分，先积三角函数，化成乘积-积分乘积
3、4、5：把根号整体设成t，替换即可