一圆内切于边长m的正方形,另一正方形又内接于这各圆,又有一圆内切于后面的正方形,如此无限继续下去,这无限个圆的面积之和等于___________
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/18 00:11:58
一圆内切于边长m的正方形,另一正方形又内接于这各圆,又有一圆内切于后面的正方形,如此无限继续下去,这无限个圆的面积之和等于___________
一圆内切于边长m的正方形,另一正方形又内接于这各圆,
又有一圆内切于后面的正方形,如此无限继续下去,这无限个圆的面积之和等于___________
一圆内切于边长m的正方形,另一正方形又内接于这各圆,又有一圆内切于后面的正方形,如此无限继续下去,这无限个圆的面积之和等于___________
正方形内切圆的的半径是正方形边长的一半,圆的内接正方形的边长是该圆半径的根号2倍.因为面积有平方,所以这就是求一个首项是m^2/4的 ,公比是1/2的等比数列的和.
圆周率我打不出来,我用A代替下,具体过程如下：
圆半径平方的数列：r1=m/2,r1^2=m^2/4,q=1/2
sn=r1^2+r2^2+...+rn^2=m^2/4(1+1/2+...+1/(2^n))
=(m^2/4)*1/(1-1/2)
=(m^2/4)*2
=m^2/2
s=A*sn=A*(r1^2+r2^2+...+rn^2)
=A*m^2/2
此题的的关键是求出所有圆的半径.
显然第一个正方形的边长是第一个圆的直径是m,即第一个圆的半径是m/2;
第二个正方形的边长是第一个圆的直径的1/√2,即m/√2,所以半径是m/2√2
第三个正方形的边长是第二个圆的直径的1/√2,即m/√2*1/√2=m/2,所以半径是m/4,
......
圆的半径依次是m/2,m/2√2,m/4,m/4√2,........
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此题的的关键是求出所有圆的半径.
显然第一个正方形的边长是第一个圆的直径是m,即第一个圆的半径是m/2;
第二个正方形的边长是第一个圆的直径的1/√2,即m/√2,所以半径是m/2√2
第三个正方形的边长是第二个圆的直径的1/√2,即m/√2*1/√2=m/2,所以半径是m/4,
......
圆的半径依次是m/2,m/2√2,m/4,m/4√2,.....
所以这无限个圆的面积之和为
∏*(m/2)^2+∏*(m/2√2)^2+∏*(m/4)^2+...
=∏(m^2/4+m^2/8+m^2/16+...)
=∏m^2(1/4+1/8+1/16+...)
=∏m^2*[(1/4)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)
=∏m^2*[(1/4)/(1/2)]
=∏m^2/2.
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