在数列{an}中,a1=1,an+1=[(n+1)/n]*an+2(n+1),设bn=an/n,（1）证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式（2）求所有正整数p的值,使得{bn}中某个连续p项的和是数列[an}中的第8项
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 14:57:31
在数列{an}中,a1=1,an+1=[(n+1)/n]*an+2(n+1),设bn=an/n,（1）证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式（2）求所有正整数p的值,使得{bn}中某个连续p项的和是数列[an}中的第8项
在数列{an}中,a1=1,an+1=[(n+1)/n]*an+2(n+1),设bn=an/n,（1）证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式
（2）求所有正整数p的值,使得{bn}中某个连续p项的和是数列[an}中的第8项
在数列{an}中,a1=1,an+1=[(n+1)/n]*an+2(n+1),设bn=an/n,（1）证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式（2）求所有正整数p的值,使得{bn}中某个连续p项的和是数列[an}中的第8项
an+1=[(n+1)/n]*an+2(n+1),
an+1/(n+1)=an/n+2
bn=an/n
bn+1=bn+2
{bn}是等差数列
b1=a1=1
bn=2n-1
an=n*bn=n(2n-1)
a8=120
p=2 4 6 8 10
(1)
等式两边同除以n+1
a(n+1)/(n+1)=an/n +2
a(n+1)/(n+1) -an/n=2，为定值。
a1/1=1/1=1
数列{an/n}是以1为首项，2为公差的等差数列。
又bn=an/n
数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列。
bn=1+2(n-1)=2n-1
数列{bn}的通项公...
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(1)
等式两边同除以n+1
a(n+1)/(n+1)=an/n +2
a(n+1)/(n+1) -an/n=2，为定值。
a1/1=1/1=1
数列{an/n}是以1为首项，2为公差的等差数列。
又bn=an/n
数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列。
bn=1+2(n-1)=2n-1
数列{bn}的通项公式为bn=2n-1。
(2)
an/n =2n-1
an=n(2n-1)=2n²-n
n=1时，a1=2-1=1，同样满足
数列{an}的通项公式为an=2n²-n
a8=2×64-8=120
设连续p项的首项为bm，则尾项为b(m+p-1)
bm+b(m+1)+...+b(m+p-1)
=2[m+(m+1)+...+(m+p-1)]-p
=2[pm+(1+2+...+p-1)]-p
=2[pm+p(p-1)/2]-p
=2pm+p²-2p
bm+b(m+1)+...+b(m+p-1)=120
2pm+p²-2p=120
m=(120-p²+2p)/(2p)
m、p为正整数，则p>0，(120-p²+2p)/(2p)>0
120-p²+2p>0
121-p²+2p-1>0
(p-1)²<121
p-1<11
p<12
又p为正整数，1≤p≤11
m=(120-p²+2p)/(2p)=[121-(p-1)²]/(2p)
分母2p为偶数，p为奇数时，(p-1)²为偶数，121-(p-1)²为奇数，m不是整数，因此p为偶数。
在2、4、6、8、10共5个偶数中，只有2、6、10满足m为正整数。
因此满足题意的正整数p共有3个：2、6、10。
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