三角正弦余弦问题高手进需主要过程在△ABC中,a+c=2b,A-C=120°,求sinA sinB sinC的值.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/23 02:53:17

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三角正弦余弦问题高手进需主要过程在△ABC中,a+c=2b,A-C=120°,求sinA sinB sinC的值.
三角正弦余弦问题高手进需主要过程
在△ABC中,a+c=2b,A-C=120°,求sinA sinB sinC的值.

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即sinA+sinC=2sinB
2sin(A+C)/2cos(A-C)/2=4sinB/2cosB/2
两边约去2cosB/2（也就是2sin(A+C)/2）
得到cos60°=2sinB/2.即sinB/2=1/4
于是cosB/2=根号15/4,sinB=根号15/8
而sinA+sinC=2sinB=根号15/4
sinA-sinC=2cos(A+C)/2sin(A-C)/2=2sinB/2sin60°=根号3/4
所以
sinA=(根号15+根号3)/8,sinC=(根号15-根号3)/8

全部展开

a=2rsinA
c=2rsinC
b=2rsinB
代入a+c=2b
sinA+sinC=2sinB
左侧和差化积,右侧二倍角公式展开：
2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=4sin(B/2)cos(B/2)
将A+C=180-B和A-C=120代入化简可求B
2sin(90-B/2)cos60=4sin(B/2)cos(B/2)
sinB/2=1/4
(1-cosB)/2=1/16
cosB=7/8,sinB=√15/8
sinA+sinC=√15/4
sinA-sinC=2sinB/2sin60°=√3/4
sinA=(√15+√3)/8,
sinC=(√15-√3)/8

收起

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三角正弦余弦问题 高手进 需主要过程在△ABC中,a+c=2b,A-C=120°,求sinA sinB sinC的值.

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