用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用变长为xcm的地砖,恰用n块；若选用边长ycm的地砖,则要比前一种刚好多用124块.已知x,y,n都是正整数,且（x,y）=1.试问这块地有多少平方米?

用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用变长为xcm的地砖,恰用n块；若选用边长ycm的地砖,则要比前一种刚好多用124块.已知x,y,n都是正整数,且（x,y）=1.试问这块地有多少平方米?
用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用变长为xcm的地砖,恰用n块；若选用边长ycm的地砖,则要比前一种刚好多用124块.已知x,y,n都是正整数,且
（x,y）=1.试问这块地有多少平方米?

用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用变长为xcm的地砖,恰用n块；若选用边长ycm的地砖,则要比前一种刚好多用124块.已知x,y,n都是正整数,且（x,y）=1.试问这块地有多少平方米?
由已知得：nx^2＝(n＋124)y^2
∴y^2|nx^2
又(x,y)＝1
∴y^2|n
令n＝ky^2,则有：
ky^2·x^2＝(ky^2＋124)y^2
kx^2－(ky^2＝124
k(x＋y)(x－y)＝124
∴k|124
若k＝1,则(x＋y)(x－y)＝124＝62×2
从而x＋y＝62,x－y＝2,得x＝32,y＝30,与x、y互质矛盾；
若k＝2,则(x＋y)(x－y)＝62,左边x＋y、x－y同偶,其积为4的倍数,右边是62,矛盾；左边x＋y、x－y同奇,其积为奇数,右边是62,也矛盾；
若k＝4,则(x＋y)(x－y)＝31＝31×1
从而x＋y＝31,x－y＝1,得x＝16,y＝15,n＝ky^2＝4×15^2＝900
这块地的面积为：900×16^2＝230400cm^2＝23.04m^2
可以验证,k为31、62、124时都无正整数解
故这块地的面积为23.04m^2