艾德思－莫德尔不等式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 11:56:44
艾德思－莫德尔不等式
艾德思－莫德尔不等式
艾德思－莫德尔不等式
三角形中任意一点到各定点的距离为R,到各边距离为D
Ra＋Rb＋Rc≧2﹙Da＋Db＋Dc）
设P为△ABC内任一点(包括边界)，点P到边AB、BC、CA的距离分别为PD1、PD2、PD3，则：
PA＋PB＋PC≥2(PD1＋PD2＋PD3)。
此不等式由近代数学家Erdos于1935年提出，当时未能给予证明，时隔两年，到了1937年才由Mordell利用三角函数给出了证明。
设f（x) = x² + y²+ z² - 2(xyc...
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设P为△ABC内任一点(包括边界)，点P到边AB、BC、CA的距离分别为PD1、PD2、PD3，则：
PA＋PB＋PC≥2(PD1＋PD2＋PD3)。
此不等式由近代数学家Erdos于1935年提出，当时未能给予证明，时隔两年，到了1937年才由Mordell利用三角函数给出了证明。
设f（x) = x² + y²+ z² - 2(xycosa + yzcosb + zxcosc)
= x² - 2(ycosa + zcosc)x + (y² + z² - 2yzcosb)
则△ = 4(ycosa + zcosc) ² - 4(y² + z² - 2yzcosb)
= - 4 [ y² ( 1 - cosa² ) + z² ( 1 - cos²c ) - 2yzcosacosc + 2yzcos ( a + c ) ]
= - 4(y²sin²a + z²sin²g - 2yzsinasing)
= - 4(ysina - zsing)²≤0
∴f( )≥0，即不等式
设x、y、z R，且a+b+c=л，则永远有x²+y²+z²≥2(xycosa + yzcosb + zxcosc)成立。
可证得如下的几何不等式：设P为△ABC内任一点(包括边界)，∠APB、∠PBC、∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3，则PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)；∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3，则
PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)
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