椭圆的一道题 在线等已知椭圆 （x^2/a^2）+y^2=1,直线l与椭圆交于A、B两点,M是线段AB的中点,连结OM并延长交椭圆于点C.⑴设直线AB与直线OM的斜率分别为K1、K2,且K1*K2=-1/4,求椭圆的离心率.⑵若直线
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 12:17:30
椭圆的一道题 在线等已知椭圆 （x^2/a^2）+y^2=1,直线l与椭圆交于A、B两点,M是线段AB的中点,连结OM并延长交椭圆于点C.⑴设直线AB与直线OM的斜率分别为K1、K2,且K1*K2=-1/4,求椭圆的离心率.⑵若直线
椭圆的一道题 在线等
已知椭圆 （x^2/a^2）+y^2=1,直线l与椭圆交于A、B两点,M是线段AB的中点,连结OM并延长交椭圆于点C.
⑴设直线AB与直线OM的斜率分别为K1、K2,且K1*K2=-1/4,求椭圆的离心率.
⑵若直线AB经过椭圆的右焦点F,切四边形OACB是平行四边形,求直线AB的斜率的取值范围.
第1小题已算出,a=2 c=√ 3
帮忙算下第2小题
椭圆的一道题 在线等已知椭圆 （x^2/a^2）+y^2=1,直线l与椭圆交于A、B两点,M是线段AB的中点,连结OM并延长交椭圆于点C.⑴设直线AB与直线OM的斜率分别为K1、K2,且K1*K2=-1/4,求椭圆的离心率.⑵若直线
第1小题已算出,a=2 c=√ 3
所以,椭圆方程为：x^2/4+y^2=1
F坐标为：(√3,0)
设AB斜率为k,则直线方程为：y=k(x-√3)
代入x^2/4+y^2=1得：
x^2/4+k^2(x-√3)^2=1
(1+4k^2)x^2-8√3k^2x+12k^2-4=0
(x1+x2)/2=4√3k^2/(1+4k^2),
(y1+y2)/2=k(4√3k^2/(1+4k^2)-√3）= - √3k/(1+4k^2)
即：M点坐标为（4√3k^2/(1+4k^2),- √3k/(1+4k^2)
）
OACB是平行四边形,所以,M是OC中点
所以,C点坐标为（8√3k^2/(1+4k^2),- 2√3k/(1+4k^2)
C在椭圆上,
所以,48k^4/(1+4k^2)^2+12k^2/(1+4k^2)^2=1
32k^4+4k^2-1=0
(8k^2-1)(4k^2+1)=0
k^2=1/8
k=√2/4,或,k=-√2/4
设AB斜率为k(不存在的情况为1))(a≠4/3),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x',y'),则C(2x',2y')x1^2/a^2+y1^2=1,x2^2/a^2+y2^2=1,两式相减得x'/a^2+y'k=0,y'=-x'/(ka^2)①C在椭圆上,4x'^2/a^2+4y'^2=1,将①代入得4x'^2/a^2+4x'^2/(k^2a^4)=1,即x'^2=(k^2a^4)/4...
全部展开
设AB斜率为k(不存在的情况为1))(a≠4/3),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x',y'),则C(2x',2y')x1^2/a^2+y1^2=1,x2^2/a^2+y2^2=1,两式相减得x'/a^2+y'k=0,y'=-x'/(ka^2)①C在椭圆上,4x'^2/a^2+4y'^2=1,将①代入得4x'^2/a^2+4x'^2/(k^2a^4)=1,即x'^2=(k^2a^4)/4(k^2a^2+1)②AB过右焦点,AB:y=k(x-c),M在AB上,(x',y')代入y'=k(x'-c)将①代入得k(x'-c)=-x'/(ka^2)即x'=(k^2a^2c)/(k^2a^2+1)③由②③得(k^2a^4)/4(k^2a^2+1)=(k^4a^4c^2)/(k^2a^2+1)^2整理得k^2=1/(3a^2-4)a≥1,a≠4/3，k^2>0,k的范围为{k|k≠0}综上,AB斜率可以不存在，存在时的范围为(-无穷,0)∪(0,+无穷)
收起