闭区间【a,b】上,f（x）严格单调,f‘（x）黎曼可积,怎么说明f（x）与f’（x）在【a,b】上连续?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 05:59:04
闭区间【a,b】上,f（x）严格单调,f‘（x）黎曼可积,怎么说明f（x）与f’（x）在【a,b】上连续?
闭区间【a,b】上,f（x）严格单调,f‘（x）黎曼可积,怎么说明f（x）与f’（x）在【a,b】上连续?
闭区间【a,b】上,f（x）严格单调,f‘（x）黎曼可积,怎么说明f（x）与f’（x）在【a,b】上连续?
刚在团队求助里看到,就在这里整理一下论点.
1.由于题目叙述已默认f(x)在[a,b]可导,所以f(x)连续是显然的.
2.但是f'(x)可以不是连续的,一个反例为:
在x ≠ 0处取f(x) = x²·sin(1/x)+3x,并取f(0) = 0.
于是在x ≠ 0处,f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x)+3,
而f'(0) = lim{x → 0} f(x)/x = 3+lim{x → 0} x·sin(1/x) = 3,因此f(x)处处可导.
但易见lim{x → 0} f'(x)不存在,故f'(x)在x = 0处不连续.
另一方面,在[-1,1]上显然成立f'(x) > 0,故f(x)严格单调.
又f'(x)只有一个不连续点x = 0,因此是Rimann可积的.
综上,f(x)在[-1,1]严格单调,处处可导,且f'(x)Riemann可积,但f'(x)不连续.
3.关于你原本的问题,定积分换元公式:∫{φ(a),φ(b)} f(x)dx = ∫{a,b} f(φ(t))φ'(t)dt.
成立的条件主要有以下几种:
1) φ(t)在[a,b]上有连续导函数,f(x)在φ([a,b])上连续.
这个条件主要是方便用Newton-Leibniz公式证明.
2) φ(t)在[a,b]上单调,并有连续导函数,f(x)在φ([a,b])上Riemann可积.
证明要从Riemann积分的定义出发,借助微分中值定理表达左端的Riemann和.
在证明中,φ'(t)的连续性有助于简便的估计误差.
3) φ(t)在[a,b]上单调,可导且φ'(t)在[a,b]上Riemann可积,f(x)在φ([a,b])上Riemann可积.
证明思路与上面基本一致,但因为条件减弱了,估计误差时要麻烦一点.
另外,在这个证明中是不需要(也不可能)证明φ'(t)连续的.