如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N. (1)求证:EM+FN=AB; (2)求当△A
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/01 14:01:44
如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N. (1)求证:EM+FN=AB; (2)求当△A
如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N. (1)求证:EM+FN=AB; (2)求当△ABC面积的最大值; (3)当△ABC面积最大时,在直线MN上找一点P, 使得EP+FP的值最小,求出这个最小值.(结果可保留根号)
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如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N. (1)求证:EM+FN=AB; (2)求当△A
1.
作CD⊥AB于D
易证Rt△ACD≌Rt△EAM,Rt△BCD≌Rt△EBN
[∵∠CAD=∠AEM(都是∠EAM的余角),AC=EA
∴Rt△ACD≌Rt△EAM]
2.
当CD最大时△ABC的面积有最大值
作AG⊥BC于G
AG=CG,AC=BC
AG²+BG²=AG²+(BC-CG)²=AG²+(√2·AG-AG)²=(4-2√2)AG²=AB²=1
AG²=(2+√2)/4
AG=√(2+√2)/2
BC=√2·AG=√(4+2√2)/2
S=(√2+1)/4
3.
P为AB中点时,EP+FP有最小值
CP=2S/AB=(√2+1)/2
EF=MN=AM+BN+AB=2CP+AB=√2+2
EE1=AB=1
(EP+FP)min=E1F=√(7+4√2)