若函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x)且f(x)=f(-x),当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,在y=f（x）图像上有两点A.B,他们纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C坐标为（0,a）（其中2＜a＜3）.求：（1）x∈[1,3]时f（x）的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 14:05:25
若函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x)且f(x)=f(-x),当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,在y=f（x）图像上有两点A.B,他们纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C坐标为（0,a）（其中2＜a＜3）.求：（1）x∈[1,3]时f（x）的解析式
若函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x)且f(x)=f(-x),当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,在y=f（x）图像上有两点A.B,他们纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C坐标为（0,a）（其中2＜a＜3）.求：（1）x∈[1,3]时f（x）的解析式；（2）Smax△ABC.
若函数y=f(x)满足f(x+4)=f(x)且f(x)=f(-x),当x∈[2,3]时,f(x)=x-1,在y=f（x）图像上有两点A.B,他们纵坐标相等,横坐标都在区间[1,3]上,定点C坐标为（0,a）（其中2＜a＜3）.求：（1）x∈[1,3]时f（x）的解析式
(1)
f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数,当x∈[-3,-2]时,f(x)=-x-1;
又因为f(x)=f(x+4),所以当当x∈[-3,-2]时,f(x+4)=-x-1,令y=x+4,得f(y)=-y+3,此时,y∈[1,2];
故x∈[1,2]时,f(x)=-x+3;
故x∈[2,3]时,f(x)=x-1;
(注：事实上由f(x+4)=f(x)可以直接知道f(x)关于x=2对称,然后就可以直接得到答案)
（2）
由之前的分析知道A、B是关于x=2对称的两点,假设其纵坐标都是b,则b∈[1,2];
A、B和点（2,1）构成一个等腰直角三角形,|AB|=2(b-1)
S△ABC=|AB|*h/2=2（b-1）*(a-b)/2=（b-1）*(a-b);
令f(b)=-b*b+(a+1)b-a,其中b∈[1,2];2＜a＜3
△=（a+1）^2-4a=(a-1)^2>0
函数最大值时b=（a+1）/2∈[1.5,2];
代入函数f(b）得到S△ABC=（a+1）^2/4-a,易知,在2＜a＜3时0.25
f(x)=-x+3,当x∈[1,2)时,f(x)=x-1,当x∈[2,3]时.