求表面积为a^2而体积为最大的长方形体积'用拉格朗日乘数法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 11:35:15
求表面积为a^2而体积为最大的长方形体积'用拉格朗日乘数法
求表面积为a^2而体积为最大的长方形体积'用拉格朗日乘数法
求表面积为a^2而体积为最大的长方形体积'用拉格朗日乘数法
设长方体的长宽高为x,y,z求体积函数f(x,y,z)=xyz,在条件φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a^2=0下的极值
方法（步骤）是：
1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数
2.求L分别对x,y,z,λ求偏导并等于零,得方程组的解,x=y=z=a除以根号6求出驻点P(x,y,z)
如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,即为那个解
让矩形的x的长度，宽度为y和z />高度的目标函数的函数f（x，z）的= xyz的/>限制为g（，和z）= 2（XY + YZ + XZ）= 2
φ（X，Y，Z）= 2（XY + YZ + XZ）-2 = 0
引入拉格朗日乘子λ，构建拉格朗日函数L（X，? ，Z）= F（X，Y，Z）+λφ（X，Y，Z）= XYZ +λ[2（XY + YZ + XZ）2]
...
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让矩形的x的长度，宽度为y和z />高度的目标函数的函数f（x，z）的= xyz的/>限制为g（，和z）= 2（XY + YZ + XZ）= 2
φ（X，Y，Z）= 2（XY + YZ + XZ）-2 = 0
引入拉格朗日乘子λ，构建拉格朗日函数L（X，? ，Z）= F（X，Y，Z）+λφ（X，Y，Z）= XYZ +λ[2（XY + YZ + XZ）2]
L'所述（X，Y，Z）= 2λYZ（Y + Z）= 0 ..... （1）
L'Y（X，Y，Z）= XZ +2λ（X + Z）= 0 ..... （2）
L'Z（X，Y，Z）= XY +2λ（X + Y）= 0 ..... （3）
φ（X，Y，Z）= 2（XY + YZ + XZ）-α2 = 0 ..... （4）/>（1）（2）（3），得到
X = Y = Z =4λ
入式（4），得到
λ= /√96 =√6a/24
，停滞的P（X，Y，Z）= P（√6A / 24，√6a/24，√6a/24）
独特的固定点，所以最值
最大体积V ??= xyz的=8λ^ 3 =√6A ^ 3/2304
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