2011年的奥数题及答案?

2011年的奥数题及答案?
2011年的奥数题及答案?

2011年的奥数题及答案?
1、甲、乙、丙都在读同一本书,书中有100个故事.每个人都按照顺序从某一个故事开始往后读.已知甲读了75个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事.那么甲、乙、丙都读过的故事至少有多少个?
首先我们可以先看其中两个人,比如甲、乙,为了保证两人都读过的尽量少,那么首先两人尽量读的不一样,那么两人都读过的至少有75+60-100=35个,那么丙还有读52个故事,首先他读的尽量不和这35个故事相同,但是又要连在一起,所以他读的尽量和甲读的相同,所以至少有52-（75-35）=12个是都读过的故事.

2、我国有"三山五岳"之说,其中五岳是指：东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山和中岳嵩山,一位老师拿着这五座山岳的图片,并在图片上标出数字,他让五位学生来辨别,每人说出两个,学生回答如下：甲：2是嵩山,3是华山, 乙：4是衡山,2是嵩山, 丙：1是衡山,5是恒山, 丁：4是恒山,3是嵩山, 戊：2是华山,5是泰山.
老师发现五个学生都只是说对了一半,那么正确的说法应该是什么呢?

假设甲的前半句正确,后半句错误,则2是泰山,3不是华山；因为每人都说对了半句,错了半句,因此可以推出戊说的前半句错误,后半句正确,即2不是华山,5是泰山.这就与甲说的"2是泰山"产生矛盾,所以假设错误.
因此我们可以知道,甲说的前半句错误,后半句正确,即3是华山；由戊说的可知,2不是华山,5是泰山；由丙说的可知,5不是泰山,1是衡山；由乙所说的可知,4不是衡山,2是嵩山；由丁所说的可知,3不是嵩山,4是恒山,所以正确的说法是：1是衡山,2是嵩山,3是华山,4是衡山,5是泰山.
3、证明 + + + +…+ 在 与 之间.
分析】 ×10= ＜ + + + +…+ ＜ ×10=
×11= ＜ + +…+ ＜ ×11=
4、六位数 是6的倍数,这样的六位数有多少个?
解 因为6＝2×3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除.由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值.再由六位数能被3整除,推知 3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除,故2B能被3整除.B可取0,3,6,9这4个值.由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）.
5、从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数?
【分析】 16个.
提示：6320,3720,2360,2760,6032,3072,2736,7632,
7320,6720,7360,3760,7032,6072,2376,3672.
6、从前有三个和尚,一个讲真话,一个讲假话,另一个有时讲真话,有时讲假话.一天,一个智者遇到这三个和尚,他问第一位和尚："你后面是哪位和尚?"和 尚回答："讲真话的."他又问第二个和尚："你是哪一位?"得到的回答："有时讲真话,有时讲假话."他问第三位和尚："你前面的是哪位和尚?"第三位和 尚回答说："讲假话的."根据他们的回答,智者马上分清了他们各是哪一位和尚,请你说出智者的答案.
假设第一位和尚回答的是真话,即第二位和尚是"讲真话的"和尚,但第二位和尚却说自己是"有时讲真话,有时讲假话",这就引出了矛盾.所以第一位和尚回答的不是真话,即第二位和尚不是讲真话的和尚,当然他自己也不会是"讲真话的和尚",故只能是第三位和尚是讲真话的和尚.所 以第三位和尚回答的是真话,即第二位和尚是"讲假话的",由此可知,第一位和尚是有时讲真话,有时讲假话.
7、姐妹俩今年的年龄和是40岁,当姐姐像妹妹现在这样大时,妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半．则姐姐今年多少岁．
姐妹俩的年龄分别是她们年龄差的3倍和2倍,即年龄比为3∶2,所

8、在一个圆环形的跑道上,甲、乙两人在同一地点沿相同方向跑时,每隔16分相遇一次,如果两人速度不变,两人在同一地点沿相反方向跑时,每隔8分相遇一次,则甲乙跑完一圈各需要多长时间?
假设路程为1份 ,甲乙的速度差为 ,甲乙的速度和为 ,快得的速度是 ,慢的速度是 ,跑完一圈各需要 分钟, 分钟
9、一只小船在静水中速度为每小时25千米,在210千米的河流中顺水而行时用了6小时,则返回原处需用多少小时．
水速：（210÷6）-25=10（千米/时）
返回原处所需要的时间：210÷（25-10）=14（小时）．
10、46305乘以一个自然数a,乘积是一个整数的平方.求最小的a和这个整数.
a=3×5×7=105；46305×105=22052.
提示：完全平方数的所有质因数都是偶数次方.
11、如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分, , , ,乙部分面积是甲部分面积的几倍?

连接 ．
∵ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ,∴ , ．
12、妈妈以每分钟 米的速度从家步行到单位上班, 分钟后,小华跑步从家追赶妈妈
结果在距家 米的地方追上妈妈.小华每分钟跑多少米?
分钟妈妈走了 （米）,在小华追上妈妈的过程中,妈妈又走了 （米）,妈妈走这一段的时间是： （分钟）,即是小华追上妈妈的时间.又知道小华跑的路程是 米,然后根据速度＝路程÷时间,就可以求出小华每分钟跑多少米,即：小华的速度： （米
13、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.
【解】从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种：（兔、兔）,（兔、熊猫）,（兔、长颈鹿）,（熊猫、熊猫）,（熊猫、长颈鹿）,（长颈鹿、长颈鹿）.把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同
14、99张卡片上分别写着1～99．甲先从中抽走一张,然后乙再从中抽走一张,如此轮
下去．若最后的两张上的数是互质数,则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数,则乙胜．
问甲要想获胜应该怎样抽取卡片?
甲抽99,把剩下的数两两分组为（1,2）（3,4）…（97,98）,无论乙抽何数,甲都抽同组中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数,这两数相邻必互质,甲胜.
15、100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人?
本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得.如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解.
假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300－140＝160（个）.现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3——1＝2（个）,因为160÷2＝80,故小和尚有80人,大和尚有
100－80＝20（人）.
同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试.
在下面的例题中,我们只给出一种假设方法.
16、
解答: 原式 ( )

17、如图,三角形 的面积是 , 在 上,点 在 上,且 , , 与 交于点 ．则四边形 的面积等于多少．

连接 ,
根据燕尾定理, , ,
设 份,则 份, 份,
份
份.
所以

18、 , , 为 个小于 的质数, ,求这三个质数.
因为三个质数之和为偶数,所以这三个质数必为两奇一偶,其中偶数只能是 ,另两个奇质数之和为 ,又因为这三个数都要小于 ,所以只能为 和 ,所以这三个质数分别是 , , .
19、6个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用,问怎样安排这6人的打水次序,可使他们总的等候时间最短?这个最短时间是多少?
第一个人接水时,包括他本人在内,共有6个人等候,第二个人接水时,有5个人等候； 第6个人接水时,只有他1个人等候．可见,等候的人越多(一开始时),接水时间应当越短,这样总的等候时间才会最少,因此,应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水,这个最短时间是 (分)．
20、有一个长方体容器,长30厘米,宽20厘米,高10厘米,里面的水深6厘米（最大面为底面）,如果把这个容器盖紧（不漏水）,再朝左竖起来（最小面为底面）,里面的水深是多少厘米?
解答:V=30×20×6=3600(立方厘米) h=3600÷(20×10)=18(厘米)
21、四位同学进行了一次乒乓球单打比赛,当比赛进行了若干场后,体育老师问他们分别比赛了多少场.这四位同学回答分别比了1、2、3、3场,老师说：“你们肯定有人记错了.”请问：老师是怎么知道的呢?（提示：从奇偶性来考虑）
每比赛一场四个人比赛的场次之和就增加两场,所以,四个人的比赛场数之和一定是偶数,但是在这次对话中,这四位同学回答分别比了1、2、3、3场一共9场这是不可能的.
22、甲乙二人同时从A地去B地,前3小时,甲因修车1小时,因此,乙领先于甲4千米.又经过3小时,甲反而领先了乙17千米,求二人的速度.
后3小时,甲比乙多行了：4+17=21千米
每小时,甲比乙多行：21÷3=7千米
前3小时,如果甲不修车,能比乙多行21千米
甲修车1小时,比乙落后4千米
说明甲修车这1小时,少走了21+4=25千米
甲速度为每小时25千米
乙速度为每小时：25-7=18千米
23、师徒二人生产同一种零件,土地比师傅早2小时开工,当师傅生产了2小时后,发现自己比徒弟少做20个零件.二人又生产2小时.师傅反而比徒弟多生产了10个.师傅每小时生产多少个?
后面2小时,师傅比徒弟多生产了：10+20=30个
每小时,师傅比徒弟多生产：30÷2=15个
如果师徒同时开工,前4个小时,
师傅比徒弟多生产：15×4=60个
师傅比徒弟少2小时,比徒弟少生产20个
说明师傅2小时能生产：20+60=80个
师傅每小时生产：80÷2=40个
徒弟每小时生产：40-15=25个
24、甲每小时生产了12个零件,乙每小时生产8个零件.一次,甲乙同时生产同样多的零件,结果甲比乙提前5小时完成了任务.问：甲一共生产了多少零件
如果甲也按乙的时间生产,能比乙多生产：
5×12=60个
每小时,甲比乙多生产：12-8=4个
乙的生产时间：60÷4=15小时
甲乙数量相同,为：15×8=120个
25、在28的前面连续写上若干个1993,得到一个多位数：199319931993.1993199328,如果这个多位数能被11整除,哪么它最少是几位数?
(9+3)-(1-9)=2
8-2=6
6+2n≡0(mod11)
n最小为8,即在28前面写8个1993,这是一个4×8+2=34位数
26、一个正方体形状的木块,棱长为1米,沿着水平方向将它锯成3片,每片又按任意尺寸锯成4条,每条又按任意尺寸锯成5小块,共得到大大小小的长方体60块,如下图.问这60块长方体表面积的和是多少平方米?

原来的正方体有六个外表面,每个面的面积是1×1＝1（平方米）,无论后来锯成多少块,这六个外表面的6平方米总是被计入后来的小木块的表面积的.再考虑每锯一刀,就会得到两个1平方米的表面,1×2=2（平方米）
现在一共锯了：2+3+4＝9（刀）,
一共得到2×9＝18（平方米）的表面.
因此,总的表面积为：6＋（2+3＋4）×2＝24（平方米）.
这道题只要明白每锯一刀就会得到两个一平方米的表面,然后求出锯了多少刀,就可以求出总的表面积.
27、把30写成若干个连续自然数之和可以是：30＝4+5+6+7+8＝9+10+11
那么把2002写成若干个自然数之和可以是：
2002＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
思路：我们知道,连续n个自然数的求和公式是这样的：
假设第一个数是a,那么第n个数是a+n-1,它们的和是(a+a+n-1)*n/2,即(2a+n-1)n/2
所以 2002＝(2a+n-1)n/2
(2a+n-1)n=4004=2*2*7*11*13
我们发现：当n为奇数时,2a+n-1为偶数；当n为偶数时,2a+n-1为奇数.也就是说,连个因数2不能分开.
(1).n=4,那么a=499,即2002＝499＋500＋501＋502
(2).n=4*7=28,那么a=58,即2002=58+59+60+...+84+85
(3).n=4*11=44,那么a=24,即2002=24+25+26+...+66+67
(4).n=4*13=52,那么a=13,即2002=13+14+15+...+63+64
(5).n=4*7*11=308,那么a=-147,舍去
当n取更大值时,a不再有解
所以此题一共有4解
28、在50以内,含有奇数个数约数的自然数有哪些?
思路：任何一个自然数都可以表示成两个自然数乘积的形式：N＝a×b,其中a、b、N都是自然数.（质数P可以表示成：P＝P×1)
也就是说一个自然数的约数都是成对出现的.如果约数个数是奇数个,只有一种情况那就是a＝b,也就是说N是完全平方数.
所以此题的解是：1、4、9、16、25、36、49
29、有3种茶杯,每只售价分别为5元、7元和9元,张敏买了三种茶杯各若干只,且数量互不相等,共花了52元,若每种茶杯降价2元,那么就只要花36元,则其中他买了9元一只的多少只?
思路：若降价2元就少付52－36＝16元,那么一共买了8个杯子.
设9元的买了x个,7元的买了y个,那么5元的买了(8-x-y)个
列方程：9x+7y+5(8-x-y)=52
得到关系式：2x+y=6
有如下两种可能：x=1, y=4；x=2, y=2
因为数量互补相等,所以9元的1个,7元的4个,5元的3个
30、世界杯中国队小组赛,5：00球迷开始进场,在进场之前,已有部分球迷在排队等候,假设5：00以后每分钟到的球迷人数固定不变.那么开6个进口处,40分钟之后就没有球迷排队了,如果开放4个进口处,80分钟之后就没有球迷排队等候了.要使20分钟之后就没有球迷等候,至少要开放多少个进口处?
思路：设每个口每分钟检入x人,每分钟排队y人,已经有a人排队.
40*6x＝40y＋a
80*4x＝80y＋a
两式相减,得 y＝2x,a＝160x
20分钟：20*Nx＝20y＋a,代入得到：20Nx＝40x＋160x,N＝10
开放10个进口.
31、一次数学课堂练习有3道题,教师先写出一道,然后,每隔5分钟再写出一道,规定：（1）每个学生在教师写出一道新题时,如果原有题还没有做完,必须立即停下来转做新题.（2）做完一道题时,如果教师没有写出新题,就转做前面相邻未做完的题.做完这三道题的不同顺序共有多少种可能情况?
5种情况 枚举
32、王明回家距家门800米时,妹妹和一只小狗一齐向他奔来,王明每分钟走40米,妹妹每分钟跑50米,小狗每分钟跑160米,小狗遇到王明后用同样的速度不停地往返于王明和妹妹之间,当王明与妹妹相距80米时,小狗跑了多少米?
思路：相距80米时,一共已经走了：(800-80)÷(40+50)＝8分钟
小狗跑了：8×160＝1280 米
33、一辆货车从甲地开往乙地,如果每小时行驶60千米,则要迟到6小时,如果每小时行驶80千米,则要提前3个小时到达,问甲乙两地相距多少千米?
假设正点需要t小时,则
60*(t+6)=80*(t-3)
60*t+360=80*t-240
20t=600
t=30
则甲乙两地相距60*(30+6)=60*36=2160千米
34、把10个外表上一样的球,其中只有一个是次品,请你用天平只称三次,把次品找出来.
把10个球分成3个、3个、3个、1个四组,将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示.把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称,则
（1）若A=B,则A、B中都是正品,再称B、C.如B=C,显然D中的那个球是次品；如B＞C,则次品在C中且次品比正品轻,再在C中取出2个球来称,便可得出结论.如B＜C,仿照B＞C的情况也可得出结论.
（2）若A＞B,则C、D中都是正品,再称B、C,则有B=C,或B＜C（B＞C不可能,为什么?）如B=C,则次品在A中且次品比正品重,再在A中取出2个球来称,便可得出结论；如B＜C,仿前也可得出结论.
（3）若A＜B,类似于A＞B的情况,可分析得出结论.
35、图中图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形,在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形,斜线区域是空下来的地方,已知大长方形的长比宽多6厘米,问：图（1）,图（2）中画斜线的区域的周长哪个大?大多少?

解析：图（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长,图（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小.二者相差2?AB.
从图（2）的竖直方向看,AB＝a－CD图（2）中大长方形的长是a＋2b,宽是2b＋CD,所以,（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）故：图（1）中画斜线区域的周长比图（2）中画斜线区域的周长大,大12厘米.
36、求出图中梯形ABCD的面积,其中BC=56厘米.（单位：厘米）

根据梯形面积公式,有：S梯=1/2×(AB+CD)×BC,又因为三角形ABC和CDE都是等腰直角三角形,所以AB=BE,CD=CE,也就是：S梯=1/2×(AB+CD)×BC=1/2×BC×BC,所以得BC=56cm,所有有S梯=1 /2×56×56=1568
37、有一个数：111.1（）222.2,（）前面有100个1,（）后面有100个2,它能被13整除,请问（）里填什么数?
1
38、有红、白球若干个,若每次拿出1个红球和1个白球,当红球拿完时,还剩下50个白球；若每次拿走1个红球和3个白球,当白球拿完时,红球还剩下50个,那么这堆红球、白球共有多少个?

(3×50+50)÷(3-1)=100-红
100+50=150_白
100+150=250
39、计算：
原式
.
40、计算：
原式

.
41、在左边的乘法算式中,我、学、数、乐各代表四个不相同的数字.如果“乐”代表“9”,那么,“我”代表__,“数”代表__,“学”代表__.

由“乐”代表9,可推到“学”代表1,“数”代表6；由积是一个十位数,并且前两位数都是6,可推知“我”代表8.
说明：本题是把1992年5月25日第四版上谈祥柏先生写的“六一专稿”里一题变了一下形式.要推知“乐”、“学”、“数”各代表什么数字,只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识,就会立即得到结果.再推“我”代表几就稍难些.
需要用估值法：
因为800002＜6661661161＜900002
所以8≤我≤9显然,“我”只能是8.
42、在一条长 米的电线上,黄甲虫在 从右端以每分钟 厘米的速度向左端爬去, 红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟 厘米和 厘米的速度向右端爬去,红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的正中间?
8:30时黄甲虫距左端1200-15*10=1050（厘米）
设再经过t分钟,红甲虫位于蓝甲虫和黄甲虫的中间.此时,红甲虫距蓝甲虫(13-11)t厘米,距黄甲虫[1050-(13+15)t]厘米,可得方程：(13-11)t=1050-(13+15)t,解得t=35.所以从8:30再过35分钟,即9:05时红甲虫恰好在蓝甲虫与黄甲虫的中间.
43、一列数 ,这239个数不是整数的所有分数的和是多少?
分析：如果直接去找不是整数的,然后加起来,会比较困难.可以换种思考的方式,先把它们全加起来,然后减去是整数的就可以了!
详见：http://zhidao.baidu.com/question/228612907.html