用数学归纳法证明：1³+2³+……n³=[1/2n(n+1)]²

用数学归纳法证明：1³+2³+……n³=[1/2n(n+1)]²
用数学归纳法证明：1³+2³+……n³=[1/2n(n+1)]²

用数学归纳法证明：1³+2³+……n³=[1/2n(n+1)]²
证明：1）当n=1时,1³=1,[1×(1+1)/2]²=1
成立
2）假设n=k时成立,即1³+2³+3³+.+k³=[k(k+1)/2]²
3)n=k+1时,1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³=[k(k+1)/2]²+(k+1)³=(k+1)²[k²/4+(k+1)]
=(k+1)²(k²+4k+4)/4=(k+1)²(k+2)²/4=[(k+1)(k+2)/2]²
即n=k+1时,成立
∴n为一切正整数成立

显然n＝1时，两边等于1，成立.
设n＝k时，不等式成立，即
1^3+2^3+…+n^3＝[k(k+1)/2]^2，
则n＝k+1时，
1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3
＝[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
＝(k+1)^2[(k/2)^2+(k+1)]
＝(k+1)^2[(k+2)^2/4]
＝[(k+1)((k+1...

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显然n＝1时，两边等于1，成立.
设n＝k时，不等式成立，即
1^3+2^3+…+n^3＝[k(k+1)/2]^2，
则n＝k+1时，
1^3+2^3+…+k^3+(k+1)^3
＝[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
＝(k+1)^2[(k/2)^2+(k+1)]
＝(k+1)^2[(k+2)^2/4]
＝[(k+1)((k+1)+1)/2]^2.
即n＝k+1时，原式也成立.
因此，原式成立。

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