又有初中数学问题请大家帮忙!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 15:21:46
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如图3,一副直角三角板满足AB =BC,AC =DE,∠ABC =∠DEF =90°,
∠EDF =30°.操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使DE与AB交于点P,EF与BC于点Q.
探究一：在旋转过程中,
(1)如图4,当CE/EA=1时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并给出证明.
EP=EQ
连接BE
因为△ABC为等腰直角三角形,且点E为斜边AC中点
所以,BE=CE…………………………………………………（1）
∠PBE=∠QCE=45°…………………………………………（2）
又∠PEB+∠BEQ=∠QEC+∠BEQ=90°
所以,∠PEB=∠QEC…………………………………………（3）
由(1)(2)(3)知,△PBE≌△QCE（AAS）
所以,EP=EQ
(2)如图5,当CE/EA=2时,EP与EQ满足怎样的数量关系,并说明理由.
(3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当CE/EA=m时,EP与EQ满足的数量关系式为,
其中m的取值范围是 .(写出结论,并证明)
如图
过点E作BC的垂线,垂足为N；作点Q关于EN的对称点M,连接EM
因为∠PEQ=90°,∠PBQ=90°
所以,P、B、Q、E四点共圆（图中蓝色圆）
所以,∠APE=∠EQB
因为M、Q关于EN对称,即EN为MQ的垂直平分线
所以,EM=EQ,且∠EQB=∠EMC
所以,∠APE=∠EMC…………………………………………（1）
已知△ABC为等腰直角三角形
所以,∠A=∠C=45°………………………………………（2）
由(1)(2)知,△APE∽△CME
所以,EP/EM=AE/CE
而,EM=EQ
所以,EP/EQ=AE/CE=1/m
那么：②中,当CE/AE=2时,EP=(1/2)EQ
③中,EP/EQ=AE/CE=1/m
设等腰直角三角形ABC中,AB=BC=a,那么斜边AC=√2a
所以,在Rt△DEF中DE=AC=√2a
已知∠EDF=30°
所以,EF=(√6/3)a
当点E在AC上,且要保证EF与BC有交点
那么,EQ≤EF=(√6/3)a
而取等号时,EF(Q)就正好垂直BC
此时,△EFC为等腰直角三角形
那么,CE=√2*EQ=√2*(√6/3)a=(2√3/3)a
即,CE≤(2√3/3)a
则,AE=AC-CE≥√2a-(2√3/3)a=[(3√2-2√3)/3]a
所以：
①当点E无限接近点C时,CE就接近于0,那么：CE/AE=m就接近于0
②当点E达到最大值【即上述讨论的情况】时,
CE/AE=m=[(2√3/3)a]/[(3√2-2√3)a/3]=√6+2
所以,0＜m≤√6+2
什么问题？