已知函数f(x)=1/2x^2+cosx 当x属于(0,π)时,求证:f(x)>1如图
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 20:55:07
已知函数f(x)=1/2x^2+cosx 当x属于(0,π)时,求证:f(x)>1如图
已知函数f(x)=1/2x^2+cosx 当x属于(0,π)时,求证:f(x)>1
如图
已知函数f(x)=1/2x^2+cosx 当x属于(0,π)时,求证:f(x)>1如图
f(x)=1/2x^2+cosx
f'(x)=x-sinx
f''(x)=1-cosx >=0 在x属于(0,π)时,f'(x)为单调增函数
x＝0时 ,f'(x)最小值为0,
因此 在x属于(0,π)时,f'(x)>0,f(x)为单调增函数
x＝0时 ,f(x)最小值为1,
因此在x属于(0,π),f(x)>1
（1）角度在第二象限的时候cos可能是负值，所以函数在这一段的最小值没法观察的。用导数解决。
一阶导数 f'(x) = x - sin(x)，二阶导数 f''(x) = 1 - cos(x)。
发现二阶导数在x属于(0, π)时总是严格正的，这说明一阶导数单调递增。又由于f'(0) = 0，所以一阶导数在x属于(0, π)时就总是正的，因此函数f(x)在区间(0, π)上...
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（1）角度在第二象限的时候cos可能是负值，所以函数在这一段的最小值没法观察的。用导数解决。
一阶导数 f'(x) = x - sin(x)，二阶导数 f''(x) = 1 - cos(x)。
发现二阶导数在x属于(0, π)时总是严格正的，这说明一阶导数单调递增。又由于f'(0) = 0，所以一阶导数在x属于(0, π)时就总是正的，因此函数f(x)在区间(0, π)上严格单调递增，所以
f(x) > f(0) = 1；另外，f(π) = π^2/2 - 1，下面要用。
（2）还是一样用导数解决。我们先用导数刻画函数g的单调性。
g'(x) = exp(x) - e。
这是一个单调递增函数，当且仅当x = 1时g'(x)=0，且x<1时函数g'(x)<0，g(x)单调递减，x>1时函数g'(x)>0，g(x)单调递增。所以函数g(x)在区间(0,2)上的最小值就是
g(1)=a^2 - 2，在端点处函数值为：
g(0) = a^2 - 1，g(2) = e^2 - 2e + a^2 - 2，不管a取何值，g(2) > g(0)。
由于题设条件的意思其实就是，给定当x1属于[0,π)时函数f(x)的值域，函数g在定义域(0,2)上的值域必须和这个值域有交集（你可以画下函数草图来帮助理解这句话）。因此，我们只要找出不符合题意的条件，然后求补集即可。
函数f在[0,π)上的值域是 [1, π^2/2 - 1) (见上问末尾)；
函数g在(0,2)上的值域是 [g(1)，g(2))，即[a^2 - 2, e^2 - 2e + a^2 - 2)。
这两个集合没有交集时，要么a^2 - 2 >= π^2/2 - 1，要么e^2 - 2e + a^2 - 2 <= 1。第一个不等式解集为：( 负无穷，- sqrt (π^2/2 + 1) ] 并 [sqrt (π^2/2 + 1)， 正无穷)；
第二个不等式解集为：[ - sqrt (3 + 2e - e^2), sqrt (3 + 2e - e^2) ]；
以上两种情况都是题设所不允许的，所以最终的答案为上述两个集合并集的补集：
( - sqrt (π^2/2 + 1), - sqrt (3 + 2e - e^2) )并( sqrt (3 + 2e - e^2), sqrt (π^2/2 + 1) )。
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