数学之友第244页第2题,请详细回答,

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/26 04:19:29

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f(x)=[e^(2x)]/2-(a+1)e^x+ax
则,f'(x)=e^(2x)-(a+1)e^x+a
=[(e^x)-1]*[(e^x)-a]
①当a≤0时,(e^x)-a＞0
那么,当f'(x)=0时,(e^x)-1=0；即：x=0
则,当x＞0时,f'(x)＞0,f(x)单调递增；
当x＜0时,f'(x)＜0,f(x)单调递减.
此时,f(x)有极小值f(0)=(1/2)-(a+1)=-a-(1/2)；无极大值.
②当0＜a＜1时
f'(x)=0 ===> e^x=1,或者e^x=a
===> x=0,或者x=lna
则：
当x＞0时,f'(x)＞0,f(x)单调递增；
当lna＜x＜0时,f'(x)＜0,f(x)单调递减；
当x＜lna时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.
所以,f(x)有极小值f(0)=-a-(1/2)；极大值f(lna)=(1/2)a²-(a+1)a+alna=-(1/2)a²-a+alna
③当a=1时,f'(x)=[(e^x)-1]²≥0
则f(x)单调递增,无极大极小值
④当a＞1时
f'(x)=0 ===> e^x=1,或者e^x=a
===> x=0,或者x=lna
则：
当x＞lna时,f'(x)＞0,f(x)单调递增；
当0＜x＜lna时,f'(x)＜0,f(x)单调递减；
当x＜0时,f'(x)＞0,f(x)单调递增.
所以,f(x)有极小值f(lna)=-(1/2)a²-a+lna；极大值f(0)=-a-(1/2)

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