如何建立微分方程如图,一个小球从一个四分之一圆弧的光滑斜面上静止释放,那么怎么建立微分方程来求解小球从顶端运动到底部所用的时间?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/09 00:52:54

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如何建立微分方程

如图,一个小球从一个四分之一圆弧的光滑斜面上静止释放,那么怎么建立微分方程来求解小球从顶端运动到底部所用的时间?

如何建立微分方程如图,一个小球从一个四分之一圆弧的光滑斜面上静止释放,那么怎么建立微分方程来求解小球从顶端运动到底部所用的时间?
建立合适的坐标,以向下为y轴的正方向,以向左为x的正方向.
小球的运动轨迹方程为：(x-r)^2+y^2=r^2 r为四分之一圆弧的半径.
y=y(x) y(0)=0 y(r)=r
v=ds/dt=[(1+y'^2)^(1/2)]dx/dt （v为小球的速度）
dt={[(1+y'^2)^(1/2)]/v}dx.(1)
小球在y处,有能量守恒定理：
mgy=(1/2)mv^2 ,
v=(2gy)^(1/2) .(2)
(2)代入（1）式得：dt=[(1+y'^2)/(2gy)]^(1/2)]dx
t=∫[(1+y'^2)/(2gy)]^(1/2)]dx （定积分从0积到r)
故：t的积分值即为小球从顶端运动到底部所用的时间.
分析：楼主有兴趣,可以把y=f(x)的函数关系代入,进行积分.

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