四边形之中位线如图,分别以三角形ABC的边AC和BC为边,在三角形外做正方形ACDE和CBFG,点P是EF中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半

四边形之中位线如图,分别以三角形ABC的边AC和BC为边,在三角形外做正方形ACDE和CBFG,点P是EF中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半
四边形之中位线
如图,分别以三角形ABC的边AC和BC为边,在三角形外做正方形ACDE和CBFG,点P是EF中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半

四边形之中位线如图,分别以三角形ABC的边AC和BC为边,在三角形外做正方形ACDE和CBFG,点P是EF中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半
作EM垂直于AB于M,FN垂直于AB于N,CR垂直于AB于R,PQ垂直于AB于Q.
因为 EM垂直于AB于M,FN垂直于AB于N,PQ垂直于AB于Q,
所以 FN平行于PQ平行于EM,
所以 PQ为梯形FNME的中位线,
所以 PQ=二分之一（FN+EM）.
因为 正方形CBFG,所以角CBF等于九十度,所以∠CBR+∠FBN=90°
又因为 FN垂直于AB,所以∠FBN+∠BFN=90°
又因为 ∠CBR+∠FBN=90°
所以 ∠CBR=∠FBN
又因为 正方形CBFG,所以CB=BF,
所以 △CRB≌△BNF
所以 BR=FN
同理, EM=AR
又因为 AR+BR=AB
所以 EM+FN=AB
又因为 PQ=二分之一（FN+EM）,EM+FN=AB,
所以 PQ=1/2 AB