如图,等边三角形ABC的边长a=根号(25+12根号3),P是三角形ABC内的一点,若PA的平方+PB的平方=PC的平方.若PC=5,求PA、PB的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/09 04:56:33
如图,等边三角形ABC的边长a=根号(25+12根号3),P是三角形ABC内的一点,若PA的平方+PB的平方=PC的平方.若PC=5,求PA、PB的长.
如图,等边三角形ABC的边长a=根号(25+12根号3),P是三角形ABC内的一点,若PA的平方+PB的平方=PC的平方.若PC=5,求PA、PB的长.
如图,等边三角形ABC的边长a=根号(25+12根号3),P是三角形ABC内的一点,若PA的平方+PB的平方=PC的平方.若PC=5,求PA、PB的长.
把三角形APB逆时针旋转60度,得一新三角形AQC,连结PQ,
则△ABP≌△AQC,AQ=AP,《PAQ=60度,△APQ是正△,
AP=AQ=PQ,
AP^2+BP^2=PC^2,
则根据勾股定理逆定理,△PQC是RT△,
《PQC=90度,
〈AQP=60度,
〈AQC=150度,
在三角形ACQ中,根据余弦定理,
AC^2=AQ^2+QC^2-2AQ*QC*cos150°,
设AQ=x,CQ=y,
25+12√3=25+xy√3,
xy=12,(1)
x^2+y^2=25,(2)
(1)*2+(2)式,
(x+y)^2=49,
x+y=7,(3)
x=3,或x=4,
y=3 或y=4,
∴PA=AQ=3,或PA=4,
PB=QC=4,或PB=3.
以A为顶点做∠PAD=60°,使AD=AP,连接CD,易得△APD为正三角形,
∴PA=PD=AD,∠ADP=60°,
易证△ADC≌△APB,∴CD=PB,
由PA^2+PB^2=PC^2,得PD^2+CD^2=PC^2
则△PDC是∠PDC=90°的直角三角形,
∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+
PA=AQ=3,或PA=4,
PB=QC=4,或PB=3.