4． 已知：如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.（1） 若∠MAN＝45°,求证：MB＋ND＝MN .（2） 若MB＋ND＝MN,求证：∠MAN＝45°.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 00:39:15
4． 已知：如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.（1） 若∠MAN＝45°,求证：MB＋ND＝MN .（2） 若MB＋ND＝MN,求证：∠MAN＝45°.
4． 已知：如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.
（1） 若∠MAN＝45°,求证：MB＋ND＝MN .
（2） 若MB＋ND＝MN,求证：∠MAN＝45°.
4． 已知：如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.（1） 若∠MAN＝45°,求证：MB＋ND＝MN .（2） 若MB＋ND＝MN,求证：∠MAN＝45°.
1)过N做NP垂直于AM.
由题意,得：三角形ANP为等腰直角三角形（∠MAN＝45°）；
所以：MN^2=NP^2+PM^2;
设正方形ABCD边长为1,BM=b,DN=a.
MN^2=NP^2+PM^2------1；
MN^2=NC^2+MC^2------2;
1,2式联立：NP^2+PM^2=NC^2+MC^2；
故：(AN/√2)^2+(AM-AP)^2=(1-DN)^2+(1-BM)^2;
(1+a^2)/2+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)+(1+a^2)/2=(1-a)^2+(1-b)^2;
(1+a^2)+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=(1+a^2)+(1+b^2)-2(a+b);
√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=2(a+b);
(1+a^2)*(1+b^2)=2(a+b)^2;
1+a^2+b^2+a^2*b^2=2a^2+2b^2+4ab;
1+a^2*b^2-2ab=a^2+b^2+2ab;
(1-ab)^2=(a+b)^2;
因为a<1,b<1,故ab<1;
上式为:1-ab=a+b;
随便带入1,2式中的一个（以2式为例）：
MN^2=NC^2+MC^2=(1-a)^2+(1-b)^2
=1-2a+a^2+1-2b+b^2
=2-2(a+b)+a^2+b^2
=2-2+2ab+a^2+b^2-------->1-ab=a+b;
=(a+b)^2;
故：MN=a+b=MB＋ND,原题得证.
2）由MB＋ND＝MN,得:NC^2+MC^2=(MB＋ND)^2;
所以:(1-a)^2+(1-b)^2=(a+b)^2;
a+b=1-ab;
下面用1)的证明倒推.
