已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,连接EF,设线段EF的中点为M.求证:MA=MD不要用向量解,

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 02:10:00
已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,连接EF,设线段EF的中点为M.求证:MA=MD不要用向量解,已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,以

已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,连接EF,设线段EF的中点为M.求证:MA=MD不要用向量解,
已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,连接EF,设线段EF的中点为M.
求证:MA=MD

不要用向量解, 

已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,连接EF,设线段EF的中点为M.求证:MA=MD不要用向量解,
证明:过点A作AQ⊥BC于Q,过点D作DT⊥BC于T,过点E作EP⊥AD交DA的延长线于点P,过点F作FS⊥AD的延长线于S,过点M作MN⊥AD于N
∵AQ⊥BC,DH⊥BC,AD∥BC
∴矩形AQHD
∴AQ=AH,∠AQB=∠AHC=90,∠PAQ=90
∴∠BAQ+∠BAP=90
∵正方形ABGE
∴AE=AB,∠BAE=90
∴∠EAP+∠BAP=90
∴∠EAP=∠BAQ
∵EP⊥AD
∴∠APE=∠AQB
∴△ABQ≌△AEP  (AAS)
∴AP=AQ
同理可证DS=DT
∴AP=DS
∵EP⊥AD,FS⊥AD,MN⊥AD
∴EP∥MN∥FS
∵M是EF的中点
∴MN是梯形EFSP的中位线
∴PN=SN
∵PN=AP+AN,SN=DS+DN
∴AP+AN=DS+DN
∴AN=DN
∴MN垂直平分AD
∴MA=MD
 

 
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