在数列1/1,1/2,2/2,1/3,2/2,3/1,1/4,2/3,3/2,……1/n,2/n-1……n/1,求这组数在数列1/1,1/2,2/2,1/3,2/2,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,1/5,2/4,3/3,4/2,5/1……1/n,2/n-1……n/1,求这组数的和是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 18:35:10
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分组求和,这组数共有（1+2+3+.+n）个
（1/1+2/1+3/1+...+n/1）+[1/2+2/2+3/2+...+(n-1）/2]+[1/3+2/3+3/3+4/3+...+(n-2)/3]+.+(1/n)
共有n组,分母相同,分子相加,运用等差数列的求和公式
即[n(n+1)/2]+(1/2)[（n-1）n/2]+(1/3)[(n-2)(n-1)/2]+.+1/n
上面的每一组数都符合bm=(1/m)[(n+1-m)(n+2-m)/2]的形式,在此m为变量,n为常数,
所以m=n时,有bn=1/n.因此问题转化为求bm的前n项和,（特别注意,是前n项和,不是前m项和）,因此最后表达式中必定不含有m.
m代表正整数,bn懂吧,它代表数列{bn},同样的道理,bm也是表示数列,即数列{bm},只是变量符号不同而已,因此我说的是数列bm=(1/m)[(n+1-m)(n+2-m)/2],其中m表示变量,n看成常数,
所以在bm=(1/m)[(n+1-m)(n+2-m)/2]中,令m=1,得b1=[n(n+1)/2],
令m=2,得b2=(1/2)[（n-1）n/2]
令m=3,得b3=（1/3)[(n-2)(n-1)/2]
令m=n,得bn=1/n,懂了吧.
因此求出bm的前m项和Sm后,再令m=n,便得这组数的和Sn.
bm=(1/m)[(n+1-m)(n+2-m)/2]=[(n+1)(n+2)/2]/m-(2n+3)/2+m/2,
下面求bm的前m项和,注意在求的过程中,n始终看做常数.即（n+1）*(n+2)/2是常数,（2n+3）是常数.所以有
Sm=[(n+1)(n+2)/2]*(1+1/2+1/3+...+1/n)-[m*(2n+3)]/2+[m*(m+1)/2]/2
再令m=n,得Sn=[(n+1)(n+2)/2]*[∑(1/k)]-[n*(2n+3)]/2+[n*(n+1)]/4,即为该题答案.∑是求和符号,在∑的上面写n,下面写k=1,即∑（1/k）=1+1/2+1/3+...+1/n,说明一下,1+1/2+1/3+1/4+...+1/n是调和级数,也是一个发散级数,它没有通项公式的,只能用一些函数逼近,比如有1+1/2+...+1/n>ln(n+1).