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来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 09:03:41
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线性代数的几道题
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八.
因为 A(A-3E) = 10E
所以A可逆,且 A^-1 = (1/10)(A-3E).
因为 A(A-4E)+(A-4E) - 6E = 0
所以 (A+E)(A-4E) = 6E
所以 A-4E 可逆,且 (A-4E)^-1 = (1/6)(A+E).
九.二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3
|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
所以 A 的特征值为 1,2,5.
A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.
A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3
r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.
A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 P = (b1,b2,b3),则 P 是正交矩阵,且
P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交变换,满足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.
A((A-3E)/10)=E 所以A的逆矩阵为(A-3E)/10
（A-4E）（（A+E）/-14）=E 所以A-4E的逆矩阵（A+E）/-14
至于第二题，很难写，我说下思路
1 写出对称矩阵
2求出特征值
3求出每个特征值对应的线性无关的特征向量，得基础解系
4单位化即可
题呢？