一道圆锥曲线求离心率问题 错在哪里?已知抛物线x²=2py（p>0)的焦点F恰好是双曲线y²/a²—x²/b²=1的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为 我有一个错解
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 16:23:50
一道圆锥曲线求离心率问题 错在哪里?已知抛物线x²=2py（p>0)的焦点F恰好是双曲线y²/a²—x²/b²=1的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为 我有一个错解
一道圆锥曲线求离心率问题 错在哪里?
已知抛物线x²=2py（p>0)的焦点F恰好是双曲线y²/a²—x²/b²=1的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为
我有一个错解
联立抛物线方程与双曲线方程,消y 得到关于x的一元二次方程组 根据韦达定理,可以得到 y1+y2=2pa²/b² 再由图可知 y1+y2=p
由此 得到2a²=b² 最后求得离心率=根号3
而 本题正确答案应该是 1+根号2 请问 错在了哪?
一道圆锥曲线求离心率问题 错在哪里?已知抛物线x²=2py（p>0)的焦点F恰好是双曲线y²/a²—x²/b²=1的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为 我有一个错解
你错在二元二次方程运用了伟达定理
比如说
由x²=2py和y²/a²—x²/b²=1联立可得
b²y²-2a²py-a²b²=0 ①
由条件可知
y1y2=c².②
而由①式运用伟达定理得
y1y2=-a² ③
②与③式明显矛盾
所以伟达定理在里面不适用
原因二元二次方程有2-4个解,伟达定理只适合有两个解的一元二次方程
此题正解如下
抛物线可化为
x²=4cy
将y=c带入得交点坐标为
(2c,c)
所以(2c)²/a²-c²/b²=1,又b²=c²-a²
解得
c/a=1+√2
不懂再问,For the lich king
抛物线 双曲线关于y轴对称，它们的交点关于y轴对称，又过焦点F，所以过交点的直线平行于x轴， y1+y2=p，所以y1=p/2=y2.=c,根据抛物线算交点坐标（2c,c),交点坐标又在双曲线上，代入双曲线消去b，得离心率e^2=3+2倍根号2，e=1+根号2