狭义相对论

狭义相对论
狭义相对论

狭义相对论
狭义相对论 - 三维证明
　　1．由实验总结出的公理,无法证明.
　　2．洛仑兹变换：
　　设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止,（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u,且沿x轴正向.在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0.
　　可令
　　x=k(X+uT) (1).
　　又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数（广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数.）同理,B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K.
　　故有
　　X=k(x-ut) (2).
　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得
　　Y=y (3).
　　Z=z (4).
　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即
　　T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).
　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理.当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有x=ct,X=cT.
　　代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：
　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
　　3．速度变换：
　　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
　　同理可得V(y),V(z)的表达式.
　　4．尺缩效应：
　　B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标),则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
　　5．钟慢效应：
　　由坐标变换的逆变换可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量),故△t=γ△T.
　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量.）
　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).）
　　B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时.B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为
　　△t(a)=γ△t(b) (1).
　　探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则
　　△t(N)=(1+β)△t(a) (2).
　　相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即
　　ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3).
　　由以上三式可得：
　　ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系,β=v/c）
　　牛顿第二定律在伽利略变换下,保持形势不变,即无论在那个惯性系内,牛顿第二定律都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式.
　　牛顿力学中,v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变,（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了.即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度.牛顿动量为p=mv,将v替换为V,可修正动量,即p=mV=γmv.定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量.（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
　　8．相对论力学基本方程：
　　由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式,虽与牛顿第二定律的形式完全一样,但内涵不一样.（相对论中质量是变量）
　　9．质能方程：
　　Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫PDV
　　=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
　　=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
　　=Mc^2-mc^2
　　即E=Mc^2=Ek+mc^2
　　10．能量动量关系：
　　E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四、四维证明
　　1．公理,无法证明.
　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立.定义dS为四维间隔,
　　dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).
　　则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0.dS^2>0称类空间隔,dS^2<0称类时间隔,dS^2=0称类光间隔.相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变,因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量,dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量.因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量.
　　由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动,旋转x和ict轴）
　　X=xcosφ+(ict)sinφ
　　icT=-xsinφ+(ict)cosφ
　　Y=y
　　Z=z
　　当X=0时,x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
　　得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
　　3．4．5．6．略.
　　7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ）
　　令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ,V=dr/dτ称四维速度.
　　则V=(γv,icγ)γv为三维分量,v为三维速度,icγ为第四维分量.（以下同理）
　　四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
　　四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F为三维力）
　　四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
　　则f=MDV/dτ=mω
　　8．略.
　　9．质能方程：
　　fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
　　故四维力与四维速度永远“垂直”,（类似于洛伦兹磁场力）
　　由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量,且Fv=DEK/dt(功率表达式)）
　　故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即：Ek=Mc^2-mc^2
　　故E=Mc^2=Ek+mc^2
以上是相关公式的推导过程,希望对你有帮助,谢谢~