已知函数f(x)=2x^3-3(2+a^2)x^2+6(1+a^2)x+1 （a属于R)1:若函数f(x)在R上单调,求a2：若函数f(x)在区间【0,2】上的最大值是5,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 16:26:23
已知函数f(x)=2x^3-3(2+a^2)x^2+6(1+a^2)x+1 （a属于R)1:若函数f(x)在R上单调,求a2：若函数f(x)在区间【0,2】上的最大值是5,求a的取值范围
已知函数f(x)=2x^3-3(2+a^2)x^2+6(1+a^2)x+1 （a属于R)
1:若函数f(x)在R上单调,求a
2：若函数f(x)在区间【0,2】上的最大值是5,求a的取值范围
已知函数f(x)=2x^3-3(2+a^2)x^2+6(1+a^2)x+1 （a属于R)1:若函数f(x)在R上单调,求a2：若函数f(x)在区间【0,2】上的最大值是5,求a的取值范围
（1）求导得：
f'(x)=6x^2-6(2+a^2)x+6(1+a^2)
=6(x-1)([x-(1+a^2)]
令f'(x)=0,则x=1或x=1+a^2,显然1+a^2≥1
则f'(x)≥0的解为x≤1或x≥1+a^2；令f'(x)≤0,得1≤x≤1+a^2；
要使f(x)在R上单调,则1+a^2=1,
所以a=0
此时,f(x)在R上单调递增.
（2）由①求得f(x)在[1,1+a^2]上递减,在（-∞,1]∪[1+a^2,+∞)上递增
因此,f(x)在[0,2]上有最大值5,分以下情况讨论：
①当1+a^2≤2,即-1≤a≤1时,可能的最大值为f(1)或f(2),
f(1)=2-3(2+a^2)+6(1+a^2)+1=3+3a^2
f(2)=2×8-3×4(2+a^2)+6×2(1+a^2)+1=5+9a^2
若f(2)为最大值,则a=0∈[-1,1],此时f(1)=3＜5,满足题意；
若f(1)为最大值,则a=±根号(2/3)∈[-1,1],但f(2)＞5,不满足题意；
所以a=0.
②当1+a^2≥2,即a≤-1或a≥1时,可能的最大值为f(1),而由①的讨论可知此时求得的a不∈（-∞,-1]∪[1,+∞),所以无解.
综上,a=0满足题意,a的取值范围为{0}.