设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数）（1）求函数f（x）表达式（2）设a∈(6,+∞）,求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 21:40:45
设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数）（1）求函数f（x）表达式（2）设a∈(6,+∞）,求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12
设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数）
（1）求函数f（x）表达式
（2）设a∈(6,+∞）,求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12上（不要求导）
设函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x-1=0对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3(a为实数）（1）求函数f（x）表达式（2）设a∈(6,+∞）,求a的值使f(x)的图象最高点落在y=12
1.
设：A(x,y)是f(x)上的点,且x∈[-1,0]
则：A点关于x=1的对称点A'(2-x,y)必在g(x)上
∵x∈[-1,0]
∴2-x∈[2,3]
∴A'(2-x,y)满足g(x)=2a(x-2)-4(x-2)^3
得：y=4x^3-2ax
∴当x∈[-1,0]时,f(x)=4x^3-2ax
当x∈(0,1]时,-x∈[-1,0]
∴-x满足上式
代入得：f(-x)=-4x^3+2ax
∵f(x)是偶函数
∴f(x)=f(-x)=-4x^3+2ax
综上：f(x)=4x^3-2ax(-1≤x≤0) -4x^3+2ax(0＜x≤1)
2.
求导
f'(x)=12x^2-2a(-1≤x≤0) -12x^2+2a(0＜x≤1)
当-1≤x≤0时,x^2≤1,12x^2≤12
∵a＞6,2a＞12
∴f'(x)=12x^2-2a＜0
∴f(x)在[-1,0]上单调递减
当0＜x≤1时,x^2≤1,-12x^2≥-12
∵2a＞12
∴f'(x)=-12x^2+2a＞0
∴f(x)在(0,1]上单调递增
∴f(x)最大值为f(1)=f(-1)=2a-4=12
∴a=8