已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证：EF+EG是定值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 18:30:06
已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证：EF+EG是定值
已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证：EF+EG是定值
已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证：EF+EG是定值
设AC与BD相交于O,∵ABCD是矩形,∴OA=OD
过A作AH⊥BD于H,因为矩形为已知,∴AH为定值.
则SΔOAD=1/2AH*OD,
连接OE,SΔOAE=1/2OA*EF,SΔODE=1/2OD*EG
∴1/2OA*EF+1/2OD*EG=1/2OD*AH,
∴EF+EG=AH(定值)
因为三角形AEC+三角形DEB的面积是定值（相当于AD * AB的二分之一）
而AC，BD是定值
所以能推出结论
换种方法算面积
过A作AM⊥BD于M，过D作DN⊥AC于N，因为ABCD是矩形，所以AM=DN应该不难证，有疑问可以追问我
所以AM平行EG，三角形DEG相似于三角形DAM，所以EG：AM=DE：DA，
同理可得，EF：DN=AE：AD，
两个比例式子相加可得（EG+EF）：AM=1，所以EG+EF为定值AM（DN）。
证明：设矩形的对角线AC、BD相交于点O，连接FO，过A作AH⊥BD于点H，
则S△EDO+S△EAO＝S△AOD
∵S△EDO＝½×DO×EG
S△EAO＝½×AO×EF
S△ADO＝½×DO×AH
∴½×DO×EG＋½×AO×EF＝½×DO×AH
两边同时乘以2,得
DO×EG＋...
全部展开
证明：设矩形的对角线AC、BD相交于点O，连接FO，过A作AH⊥BD于点H，
则S△EDO+S△EAO＝S△AOD
∵S△EDO＝½×DO×EG
S△EAO＝½×AO×EF
S△ADO＝½×DO×AH
∴½×DO×EG＋½×AO×EF＝½×DO×AH
两边同时乘以2,得
DO×EG＋AO×EF＝DO×AH …………①
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝½AC，DO＝½BD
∴AO＝DO
在①式两边同时除以DO，得
EG+EF＝AH，即EF+EG是定值.
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