已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证:EF+EG是定值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 17:36:42
已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证:EF+EG是定值
已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证:EF+EG是定值
已知:矩形ABCD,E为AD上一动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足为F、G两点.求证:EF+EG是定值
设AC与BD相交于O,∵ABCD是矩形,∴OA=OD
过A作AH⊥BD于H,因为矩形为已知,∴AH为定值.
则SΔOAD=1/2AH*OD,
连接OE,SΔOAE=1/2OA*EF,SΔODE=1/2OD*EG
∴1/2OA*EF+1/2OD*EG=1/2OD*AH,
∴EF+EG=AH(定值)
因为三角形AEC+三角形DEB的面积是定值(相当于AD * AB的二分之一)
而AC,BD是定值
所以能推出结论
换种方法算面积
过A作AM⊥BD于M,过D作DN⊥AC于N,因为ABCD是矩形,所以AM=DN应该不难证,有疑问可以追问我
所以AM平行EG,三角形DEG相似于三角形DAM,所以EG:AM=DE:DA,
同理可得,EF:DN=AE:AD,
两个比例式子相加可得(EG+EF):AM=1,所以EG+EF为定值AM(DN)。
证明:设矩形的对角线AC、BD相交于点O,连接FO,过A作AH⊥BD于点H,
则S△EDO+S△EAO=S△AOD
∵S△EDO=½×DO×EG
S△EAO=½×AO×EF
S△ADO=½×DO×AH
∴½×DO×EG+½×AO×EF=½×DO×AH
两边同时乘以2,得
DO×EG+...
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证明:设矩形的对角线AC、BD相交于点O,连接FO,过A作AH⊥BD于点H,
则S△EDO+S△EAO=S△AOD
∵S△EDO=½×DO×EG
S△EAO=½×AO×EF
S△ADO=½×DO×AH
∴½×DO×EG+½×AO×EF=½×DO×AH
两边同时乘以2,得
DO×EG+AO×EF=DO×AH …………①
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=½AC,DO=½BD
∴AO=DO
在①式两边同时除以DO,得
EG+EF=AH,即EF+EG是定值.
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