如图,已知三角形ABC中,AB=AC=6,cosB=1/3点O在边AB上,圆O过点B且分别与边AB、AC相交于D、E,但圆O与边AC不相交,又EF垂直AC,垂足为F,设OB=x,CF=y（1）求证：直线EF是圆O的切线（2）求y与x的函数关系式（3
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 22:07:01
如图,已知三角形ABC中,AB=AC=6,cosB=1/3点O在边AB上,圆O过点B且分别与边AB、AC相交于D、E,但圆O与边AC不相交,又EF垂直AC,垂足为F,设OB=x,CF=y（1）求证：直线EF是圆O的切线（2）求y与x的函数关系式（3
如图,已知三角形ABC中,AB=AC=6,cosB=1/3点O在边AB上,圆O过点B且分别与边AB、AC相交于D、E,
但圆O与边AC不相交,又EF垂直AC,垂足为F,设OB=x,CF=y
（1）求证：直线EF是圆O的切线
（2）求y与x的函数关系式
（3）当直线DF与圆O相切时,求OB的长
如图,已知三角形ABC中,AB=AC=6,cosB=1/3点O在边AB上,圆O过点B且分别与边AB、AC相交于D、E,但圆O与边AC不相交,又EF垂直AC,垂足为F,设OB=x,CF=y（1）求证：直线EF是圆O的切线（2）求y与x的函数关系式（3
（1）要想证EF是⊙O的切线,只要连接OE,求证∠OEF=90°即可；
（2）求y关于x的函数关系式,可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切,易证四边形OBCF是等腰梯形,得出OB=CF,得出方程,求出OB的长．
1)相切
连接OE,则OB=OE；∴∠B=∠OEB；
又∵AB=AC,∴∠B=∠C=∠OEB；
∴OE∥AC；又EF⊥AC,∴又EF⊥OE；得证相切；
2）过A作AG⊥BC交BC于G；则BG=AB*cosB=6*1/3=2;∴BC=2*BG=4；
∵OE∥AC；∴BE/BC=OE/AC 即BE=OE*BC/AC=x*4/6=(2/3)*x;
∴EC=BC-BE=4-(2/3)*x;
∵∠AEC=∠EFC(都是直角)；并且∠C=∠C
∴△EFC∽△AGC
∴EC/AC=CF/CG
∴CF=EC*CG/AC=[4-(2/3)*x]*2/6=4/3-(2/9)*x
即 y=4/3-(2/9)*x
3）连接DF、OF；则OD⊥DF
∵OD=OE；OF=OF；∠ODF=∠OEF(都是直角)
∴△ODF≌△OEF；∴∠DOF=∠EOF
∴∠DOE=2∠DOF
又∵∠DOE=∠OBE+∠OEB=2∠OBE
∴∠DOF=∠OBE
∴OF∥BC
又∴∠AFO=∠ACB=∠DOF=∠OBE
∴AO=AF;∴OB=CF
∴x=y=4/3-(2/9)*x
解得 x=12/11.
本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点（即为半径）,再证垂直即可．同时考查了相似三角形,等腰梯形的性质解决函数问题．