函数f(x)=3ax+2b-2-a,x∈[-1,1],若f(x)≥1恒成立,则b的最小值是多少
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/27 06:11:13
函数f(x)=3ax+2b-2-a,x∈[-1,1],若f(x)≥1恒成立,则b的最小值是多少
函数f(x)=3ax+2b-2-a,x∈[-1,1],若f(x)≥1恒成立,则b的最小值是多少
函数f(x)=3ax+2b-2-a,x∈[-1,1],若f(x)≥1恒成立,则b的最小值是多少
分析:
因为f(x)=3ax+2b-2-a在x∈[-1,1],若f(x)≥1恒成立
且f(x)为常函数或一次函数
所以f(x)为常函数或单调递增递减函数,若端点值均不小于1,则此函数不小于1恒成立
若f(x)≥1恒成立
只需f(1)≥1
f(-1)≥1
3a+2b-2-a≥1
-3a+2b-2-a≥1
所以有
2b≥3-2a①
2b≥3+4a②
因为不等式符号相同,可叠加
①*2 4b≥6-4a
①*2+②
6b≥9
b≥3/2
所以b的最小值为3/2
当a=0时 f(x)=2b-2≥1 则b≥3/2
当a>0时 f(x)=3ax+2b-2-a单调递增 在x∈[-1,1]上最少值为f(-1)
则f(-1)=-3a+2b-2-a≥1 b≥2a+3/2
当a<0时 f(x)=3ax+2b-2-a单调递减 在x∈[-1,1]上最少值为f(1)
则f(1)=3a+2b-2-a≥1 b≥-a+3/2
综上所述
全部展开
当a=0时 f(x)=2b-2≥1 则b≥3/2
当a>0时 f(x)=3ax+2b-2-a单调递增 在x∈[-1,1]上最少值为f(-1)
则f(-1)=-3a+2b-2-a≥1 b≥2a+3/2
当a<0时 f(x)=3ax+2b-2-a单调递减 在x∈[-1,1]上最少值为f(1)
则f(1)=3a+2b-2-a≥1 b≥-a+3/2
综上所述
当a=0时 b=3/2
当a>0时 b=2a+3/2
当a<0时 b=-a+3/2
收起