用完全一样的正方体白几何体.从上往下,第一层放1个,第二层放4个,第三层放9个,依次类推.直到放带第n层停止.问:一共用了多少个正方体.(用含有n的式子表达)注:实际上是求 1＾+2＾+3＾+……n＾
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:22:34
用完全一样的正方体白几何体.从上往下,第一层放1个,第二层放4个,第三层放9个,依次类推.直到放带第n层停止.问:一共用了多少个正方体.(用含有n的式子表达)注:实际上是求 1＾+2＾+3＾+……n＾
用完全一样的正方体白几何体.从上往下,第一层放1个,第二层放4个,第三层放9个,依次类推.直到放带第n层停止.问:一共用了多少个正方体.(用含有n的式子表达)
注:实际上是求 1＾+2＾+3＾+……n＾ 的和的表达式(＾表示平方）
希望高人不吝赐教!最好能用高中以内的知识解答,结果为最简式．
我是新人,没什么分,希望本着知识普及的重大责任心来解答．谢谢高人赐教
用完全一样的正方体白几何体.从上往下,第一层放1个,第二层放4个,第三层放9个,依次类推.直到放带第n层停止.问:一共用了多少个正方体.(用含有n的式子表达)注:实际上是求 1＾+2＾+3＾+……n＾
看好了,俺用高中的知识
要判断是否为1,4,9,16...注意中间正好相差3,5,7,9.
那么构成一个2级等差数列
第n层所放箱子的个数相当于这个等差数列前n项和,An=A1+(n-1)*2
A1=1
An=1+（n-1）×2
Sn=(1+An)*n/2=(1+1+(n-1)×2）×n/2=2n*n/2=n^2
所以一共是∑n^2
即1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
公示.要看推倒看楼上的
平方和公式:
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)
证明:
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6...
全部展开
平方和公式:
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)
证明:
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
收起
(1+n)^3=n^3+3n^2+3n+1
[1+(n-1)]^3=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1
...............
进行累加，3次方项可以消掉，1次方项的和，可以用等差数列公式求
从而得到，2次方项和