三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 09:59:27
三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
三角形ABC中,a,b,c上的高分别为四分之一,五分之一,六分之一,求最大角的正切值.[可用正弦余弦定理等解三角形的公式.]
依题意,由面积相等得：
1/2*a/4=1/2*b/5=1/2*c/6
a/4=b/5=c/6
设比的每一份为t
a=4t,b=5t,c=6t
最大角为C
根据余弦定理：
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(16+25-36)/(2*4*5)=1/8
sinC=√（1-cos²C)=3√7/8
tanC=sinC/cosC=3√7
由△ABC面积关系得：
½×﹙1／4﹚a=½×﹙1／5﹚b=½×﹙1／6﹚c，
∴可以设：a=4k，b=5k，c=6k，
过A点作BC垂线，垂足为D点，则AD=¼，
设BD=x，则CD=4k－x，
由勾股定理得：
AB²－BD²=AD²=AC²－CD²...
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由△ABC面积关系得：
½×﹙1／4﹚a=½×﹙1／5﹚b=½×﹙1／6﹚c，
∴可以设：a=4k，b=5k，c=6k，
过A点作BC垂线，垂足为D点，则AD=¼，
设BD=x，则CD=4k－x，
由勾股定理得：
AB²－BD²=AD²=AC²－CD²，
∴﹙6k﹚²－x²=﹙5k﹚²－﹙4k－x﹚²，
解得：x=﹙27／8﹚k，
代人﹙6k﹚²－x²=﹙¼﹚²，
解得：k=2√7／105，
∵c=6k，∴∠C最大，
∴tan∠C=AD／DC
=¼／﹙4k－x﹚
=¼／[﹙5／8﹚×﹙2√7／105﹚]
=3√7，
∴最大角的正切值=3√7。
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