我要16届希望杯2试详解.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/25 06:47:04
我要16届希望杯2试详解.
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我要16届希望杯2试详解.
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
2005年4月17日 上午8∶30至10∶30
一、选择题(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1、若a,b均为正整数,m=ab(a+b),则( )
A.m一定是奇数 B.m一定是偶数
C.只有当a,b均为偶数时,m是偶数 D.只有当a,b一个为偶数,另一个为奇数时,m是偶数
2、设 , ,则 等于( )
A. B.- C.-3 D.3
3、Given a,b,c are positive integers,and a,b are prime numbers, ,then the value of is( )
A.14 B.13 C.12 D. 11
(英汉词典 positive integers:正整数. prime numbers:质数)_
4、购买铅笔7支,作业本3个,圆珠笔1支共需3元;购买铅笔10支,作业本4个,圆珠笔1支共需4元,则购买铅笔11支,作业本5个,圆珠笔2支共需( )
A.4.5元 B.5元 C.6元 D.6.5元
5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”,如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么二进制数 转换成十进制数是( )
A.22004+1 B.22005 C.22005-1 D.22005+1
6、已知△ABC的三个内角的比是m∶(m+1) ∶(m+2),其中是m大于1的正整数,那么△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
7、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5,且三条边的长均为整数,则△ABC的边长可能是( )
A.10 B.12 C.14 D.16
8、已知两位数 能被3整除,它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字,且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字.这样的两位数共有( )
A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
9、放成一排的2005个盒子中共有4010个小球,其中最左端的盒子中放了a个小球,最右端的盒子中放了b个小球,如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个,则( )
A.a=b=2 B.a=b=1 C.a=1,b=2 D.a=2,b=1
10、已知整数 , , 满足 ≤ < ,且 那么x2+y2+z2的值等于( )
A.2 B.14 C.2或14 D.14或17
二、填空题(每小题5分,共50分.含两个空的小题,前空3分,后空2分.)
11、如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于 .
12、已知 ,则 = .
13、某汽车从A地驶向B地,若每分钟行驶a千米,则11点到达,若每分钟行驶 a千米,则11∶20时距离B地还有10千米;如果改变出发时间,若每分钟行驶 a千米,则11点到达,若每分钟行驶a千米,则11∶20时已经超过B地30千米.A、B两地的路程是 千米.
14、若 是一个六位数,其中a,b,c是三个互异的数字,且都不等于0,1,2,3,又M是7的倍数,那么M的最小值是 .
15、分解因式: .
16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中,最多有M个锐角,最少有m个锐角,则M= ;
m= .
17、如图1,等腰Rt△ABC的直角边长为32,从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1,再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2,再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3,…,则AD1+D2D3+D4D5+D6D7+D8D9=
;D1D2+D3D4+D5D6+D7D8+D9D10= .
18、如图2,将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF‖BC),已知图3的面积与原三角形的面积之比为3∶4,且阴影部分的面积为8平方厘米,则原三角形面积为 平方厘米.
19、如图4,△ABC中,BC∶AC=3∶5,四边形BDEC和ACFG均为正方形,已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3∶5,那么△CEF与整个图形的面积比等于 .
20、如果正整数n有以下性质:n的八分之一是平方数,n的九分之一是立方数,它的二十五分之一是五次方数,那么n就称为“希望数”,则最小的希望数是 .
三、解答题(每题10分,共30分) 要求:写出推算过程.
21、图5是一个长为400米的环形跑道,其中A、B为跑道对称轴上的两点,
且A、B之间有一条50米的直线通道.甲、乙两人同时从A点出发,甲按
逆时针方向以速度v1沿跑道跑步,当跑到B点处时继续沿跑道前进,乙按
顺时针方向以速度v2沿跑道跑步,当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处.
假设两人跑步时间足够长.求:
⑴如果v1∶v2=3∶2,那么甲跑了多少路程后,两人首次在A点处相遇?
⑵如果v1∶v2=5∶6,那么乙跑了多少路程后,两人首次在B点处相遇?
22、⑴如果a是小于20的质数,且 可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个?
⑵如果a是小于20的合数,且 可化为一个循环小数,那么a的取值有哪几个?
23、如图6,正三角形ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC边上的点,连结PB和PD得到△PBD.求:
⑴当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;
⑵△PBD的周长的最小值.
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一、选择题(每小题5分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A B C A A
二、填空题(每小题5分,含两个空的小题,前空3分,后空2分)
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 6
54 468321
3;0 31 ;31
16
215•320•512
三、解答题
21、⑴设甲跑了n圈后,两人首次在A点处相遇,再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m,v2=2m,
由题意可得在A处相遇时,他们跑步的时间是 (2分)
是 (3分)
因为乙跑回到A点处,所以 应是250的整数倍,从而知n的最小值是15,(4分)
所以甲跑了15圈后,两人首次在A点处相遇 (5分)
⑵设乙跑了 米,甲跑了 米时,两人首次在B点处相遇,设甲、乙两人的速度分别为v1=5m,v2=6m,由题意可得 ,即 , (7分)
所以 ,即 (p,q均为正整数).
所以p,q的最小值为q=2,p=4, (8分)
此时,乙跑过的路程为250×4+200=1200(米). (9分)
所以乙跑了1200米后,两人首次在B点处相遇. (10分)
22、⑴小于20的质数有2,3,5,7,11,13,17,19 (2分)
除了2和5以外,其余各数的倒数均可化为循环小数, (4分)
所以a可以取:3,5,7,11,13,17,19. (5分)
⑵由⑴可知,只要合数a的因数中含有2或5以外的质数,那么该数的倒数均可化为循环小数,(8分)
所以a可以取:6,9,12,14,15,18. (10分)
23、⑴如图1,当点P运动到AC的中点时,BP⊥AC,DP‖AB, (2分)
所以 , , , (4分)
即△ABC的周长为BP+DP+BD= . (5分)
⑵如图2,作点B关于AC的对称点E,连结EP、EB、ED、EC,则PB+PD=PE+PD,因此ED的长就是PB+PD的最小值,即当点P运动到ED与AC的交点G时,△PBD的周长最小. (7分)
从点D作DF⊥BE,垂足为F,因为BC=a,所以 , .
因为∠DBF=30°,所以 , ,
, . (9分)
所以△PBD的周长的最小值是 . (10分)
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