双曲线 1,已知双曲线x^2-y^2/2=1的焦点为F1、F2,点M在曲线上且MF1*MF2=0求点M到x轴的距离2,在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=1/2.tan∠MNP=-2,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 22:17:28
双曲线 1,已知双曲线x^2-y^2/2=1的焦点为F1、F2,点M在曲线上且MF1*MF2=0求点M到x轴的距离2,在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=1/2.tan∠MNP=-2,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程
双曲线
1,已知双曲线x^2-y^2/2=1的焦点为F1、F2,点M在曲线上且MF1*MF2=0求点M到x轴的距离
2,在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=1/2.tan∠MNP=-2,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程
双曲线 1,已知双曲线x^2-y^2/2=1的焦点为F1、F2,点M在曲线上且MF1*MF2=0求点M到x轴的距离2,在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=1/2.tan∠MNP=-2,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程
1、设M至X轴距离为h,向量MF1*MF2=0,<F1MF2=90°,a=1,b=√2,c=√3,|F1F2|=2√3,设|MF1|>|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a=2,
根据勾股定理,MF2^2+(MF2+2)^2=(2√3)^2,
设|MF2|=x,x^2+(x+2)^2=12,x=√5-1,
|MF2|=√5-1,|MF1|=√5+1,
|MF1|*|MF2|=|F1F2|*h,
h=2√3/3.
2、tan∠PMN=1/2
tan∠MNP=-2,<MNP是钝角,
作PQ⊥MN,
PQ/NQ=tan<PNQ=2,PQ=2NQ,
PQ/MQ=tan<PMQ=1/2,
设|MN|=m, NQ=m/3,|PQ|=2m/3,
根据勾股定理,
|PM|=2√5/3m,|PN|=m√5/3,
2a=|PM|-|PN|=m√5/3,
a=m√5/6,
c=|MN|/2=m/2,
S△PMN=|PQ|*|MN|/2=(2m/3)*m/2=m^2/3=1,
m=√3,
a=√15/6,
c=√3/2,
b^2=c^2-a^2=1/3,
双曲线方程为:x^2/(5/12)-y^2/(1/3)=1,
12x^2/5-3y^2=1.
1. c=√(1+2)=√3, 则F1(-c,0),F2(c,0)
设点M(x,y),则MF1=(-c-x,-y),MF2=(c-x,-y)
∴0=MF1*MF2=x²-c²+y²=[1+y²/2]-(√3)²+y²===>y²=4/3
∴|y|=2√3/3为点M到x轴的距离
2....
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1. c=√(1+2)=√3, 则F1(-c,0),F2(c,0)
设点M(x,y),则MF1=(-c-x,-y),MF2=(c-x,-y)
∴0=MF1*MF2=x²-c²+y²=[1+y²/2]-(√3)²+y²===>y²=4/3
∴|y|=2√3/3为点M到x轴的距离
2. 以MN所在直线为X轴，MN中垂线为Y轴，建立直角坐标系。则MN=2c PM-PN=2a
tan∠N=-2<0, 则∠N是钝角,作PQ⊥MN,交MN的延长线于Q
tan∠N=-2，则tan∠PNQ=2
设NQ=x，则PQ=2x,MQ=4x，MN=3x PM=2√5x PN=√5x
S△MNP=0.5*MN*PQ=1===>0.5*3x*2x=1===>x=1/√3
2c=MN=3x=√3 ===>c=√3/2
2a=PM-PN=√5x=√15/3 ===>a=√15/6===>b²=c²-a²=3/4-5/12=1/3
∴过点P的双曲线方程:x²/(5/12)-y²/(1/3)=1
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